Question

已知直角坐標系中有一點A（-4，3），點B在x軸上，△AOB是等腰三角形．
（1）求滿足條件的所有點B的坐標．（直接寫出答案）
（2）求過O、A、B三點且開口向下的拋物線的函數(shù)解析式．（只需求出滿足條件的即可）．
（3）在（2）中求出的拋物線上存在點p，使得以O(shè)、A、B、P四點為頂點的四邊形是梯形，求滿足條件的所有點P的坐標及相應梯形的面積．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)點A的坐標，易求得OA=5，若△AOB是等腰三角形，應分三種情況考慮：
①OA=OB=5，由于點B的位置不確定，因此要分B在x軸正、負半軸兩種情況求解，已知了OB的長，即可得到點B的坐標；
②OA=AB=5，此時點B只能在x軸負半軸上，那么點B的橫坐標應為點A橫坐標的2倍，可據(jù)此求得點B的坐標；
③AB=OB=5，此時點B只能在x軸負半軸上，可在x軸上截取AD=OA，通過構(gòu)建相似三角形：△OBA∽△OAD，通過所得比例線段來求出OB的長，從而得到點B的坐標．
（2）任選一個（1）題所得的B點坐標，利用待定系數(shù)法求解即可．
（3）解此題時，雖然不同的拋物線有不同的解，但解法一致；分兩種情況：
①OA∥BP時，可分別過A、P作x軸的垂線，設(shè)垂足為C、E，易證得△AOC∽△PBE，根據(jù)所得比例線段，即可求得點P的坐標．而梯形ABPO的面積可化為△ABO、△PBO的面積和來求出．
②OP∥AB時，方法同上，過P作PF⊥x軸于F，然后通過相似三角形：△ABC∽△POF，來求出P點坐標，梯形面積求法同上．（當OA=AB時，兩種情況的點P正好關(guān)于拋物線對稱軸對稱，可據(jù)此直接求出P點坐標，避免重復計算．）

解答：解：作AC⊥x軸，由已知得OC=4，AC=3，OA=

OC2+AC2

=5．
（1）當OA=OB=5時，
如果點B在x軸的負半軸上，如圖（1），點B的坐標為（-5，0）；
如果點B在x軸的正半軸上，如圖（2），點B的坐標為（5，0）；

當OA=AB時，點B在x軸的負半軸上，如圖（3），BC=OC，則OB=8，點B的坐標為（-8，0）；
當AB=OB時，點B在x軸的負半軸上，如圖（4），在x軸上取點D，使AD=OA，可知OD=8．
由∠AOB=∠OAB=∠ODA，可知△AOB∽△ODA，
則

OB

OA

=

OA

AD

，
解得OB=

25

8

，
點B的坐標為（-

25

8

，0）．


（2）當AB=OA時，拋物線過O（0，0），A（-4，3），B（-8，0）三點，
設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=ax²+bx，
可得方程組

64a-8b=0 16a-4b=3

，
解得

a=- 3 16 b=- 3 2

，
∴y=-

3

16

x²-

3

2

x；
當OA=OB時，同理得y=-

3

4

x²-

15

4

x；

（3）當OA=AB時，若BP∥OA，如圖（5），作PE⊥x軸，
則∠AOC=∠PBE，∠ACO=∠PEB=90°，
∴△AOC∽△PBE，
∴

PE

BE

=

AC

OC

=

3

4

．
設(shè)BE=4m，PE=3m，則點P的坐標為（4m-8，-3m），
代入y=-

3

16

x²-

3

2

x，
解得m=3；
則點P的坐標為（4，-9），
S_梯形ABPO=S_△ABO+S_△BPO=48．
若OP∥AB，根據(jù)拋物線的對稱性可得點P的坐標為（-12，-9），
S_梯形AOPB=S_△ABO+S_△BPO=48．


當OA=OB時，若BP∥OA，如圖（6），作PF⊥x軸，
則∠AOC=∠PBF，∠ACO=∠PFB=90°，
△AOC∽△PBF，

PF

BF

=

AC

OC

=

3

4

；
設(shè)BF=4m，PF=3m，則點P的坐標為（4m-5，-3m），
代入y=-

3

4

x²-

15

4

x，
解得m=

3

2

．則點P的坐標為（1，-

9

2

），
S_梯形ABPO=S_△ABO+S_△BPO=

75

4

．
若OP∥AB（圖略），作PF⊥x軸，
則∠ABC=∠POF，∠ACB=∠PFO=90°，
△ABC∽△POF，

PF

OP

=

AC

BC

=3；
設(shè)點P的坐標為（-n，-3n），
代入y=-

3

4

x²-

15

4

x，
解得n=9．
則點P的坐標為（-9，-27），S_梯形AOPB=S_△ABO+S_△BPO=75．

點評：此題考查了等腰三角形的判定、二次函數(shù)解析式的確定、梯形的判定、圖形面積的求法等知識．同時還考查了分類討論的數(shù)學思想，一定要考慮全面，避免漏解．