Question

在□ABCD有任意一點(diǎn)O，點(diǎn)O到點(diǎn)A的距離OA=1，到點(diǎn)B的距離OB=2，到點(diǎn)C的距離OC=3，求正方形的邊長．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理,勾股定理的逆定理,正方形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：先根據(jù)正方形的性質(zhì)得BA=BC，∠ABC=90°，則可把△BOA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BPC，如圖，連接OP，作CH⊥BP于H，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠OBP=90°，BP=OB=2，PC=OA=1，于是可判斷△BOP為等腰直角三角形，則OP=

2

OB=2

2

，∠BPO=45°，在△OPC中利用勾股定理的逆定理得到∠OPC=90°，易得∠CPH=45°，在Rt△PCH中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得PH=CH=

2

2

PC=

2

2

，然后在Rt△BCH中根據(jù)勾股定理計(jì)算BC．

解答：解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴把△BOA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BPC，如圖，連接OP，作CH⊥BP于H，
∴∠OBP=90°，BP=OB=2，PC=OA=1，
∴△BOP為等腰直角三角形，
∴OP=

2

OB=2

2

，∠BPO=45°，
在△OPC中，∵OP=2

2

，OC=3，PC=1，
∴PC²+OP²=OC²，
∴△OPC為直角三角形，
∴∠OPC=90°，
∴∠BPC=∠BPO+∠OPC=135°，
∴∠CPH=180°-∠BPC=45°，
在Rt△PCH中，PH=CH=

2

2

PC=

2

2

，
∴BH=BP+PH=2+

2

2

，
在Rt△BCH中，
BC=

CH2+BH2

=

( 2 2 )2+(2+ 2 2 )2

=

5+2 2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理、勾股定理的逆定理．