Question

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E，F(xiàn)分別是AB和BC邊上的點(diǎn)．
（1）如圖①，以EF為對稱軸翻折梯形ABCD，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，且DF⊥BC．若AD=4，BC=8，求梯形ABCD的面積S_梯形ABCD的值；
（2）如圖②，連接EF并延長與DC的延長線交于點(diǎn)G，如果FG=k•EF（k為正數(shù)），試猜想BE與CG有何數(shù)量關(guān)系寫出你的結(jié)論并證明之．

Answer 1

分析：（1）由折疊的性質(zhì)知，BF=DF，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G．則四邊形AGFD是矩形，然后根據(jù)相似三角形的特點(diǎn)，利用面積公式求出．
（2）如圖，過點(diǎn)E作EH∥CG，交BC于點(diǎn)H．則∠FEH=∠FGC，可得△EFH∽△GFC．根據(jù)相似三角形和梯形的性質(zhì)解決．

解答：解：（1）由題意，有△BEF≌△DEF．
∴BF=DF
如圖，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G．則四邊形AGFD是矩形．
∴AG=DF，GF=AD=4．
在Rt△ABG和Rt△DCF中，
∵AB=DC，AG=DF，
∴Rt△ABG≌Rt△DCF．（HL）
∴BG=CF
∴BG=

1

2

（BC-GF）=

1

2

（8-4）=2．
∴DF=BF=BG+GF=2+4=6
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•DF=

1

2

×（4+8）×6=36

（2）猜想：CG=k•BE（或BE=

1

K

CG）
證明：如圖，過點(diǎn)E作EH∥CG，交BC于點(diǎn)H．
則∠FEH=∠FGC．
又∠EFH=∠GFC，
∴△EFH∽△GFC．
∴

EF

GF

=

EH

GC

，
而FG=k•EF，即

GF

EF

=k．
∴

EH

GC

=

1

k

即CG=k•EH
∵EH∥CG，∴∠EHB=∠DCB．
而四邊形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠DCB．
∴∠B=∠EHB．∴BE=EH．
∴CG=k•BE．

點(diǎn)評：本題利用了：1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；
2、等腰梯形的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)求解