Question

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，點E在AB上，點F在DC上，且AD=a，BC=b．
（1）如果點E、F分別為AB、DC的中點，如圖．求證：EF∥BC，且EF=

a+b

2

；
（2）如果

AE

EB

=

DF

EC

=

m

n

，如圖，判斷EF和BC是否平等，并用a、b、m、n的代數(shù)式表示EF．請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）連接AF并延長，交BC的延長線于M，利用ASA可證△ADF≌△MCF，那么，AF=MF，AD=CM，于是EF就轉(zhuǎn)化為△ABM的中位線，那么EF=

1

2

BM，而CM=AD，所以EF=

1

2

BM=

1

2

（BC+CM）=

1

2

（BC+AD）；
（2）證法和（1）相同，只是換成求線段的長．先利用平行線分線段成比例定理的推論，可得AF：FM=AD：CM=DF：FC=m：n，從而在△ABM中，AE：BE=AF：FM，再利用比例線段的性質(zhì)，就有AE：AB=AF：AM，再加上一個公共角，可證△AEF∽△ABM，則∠AEF=∠ABM，那么EF∥BM，從而有EF：BM=AE：AB=m：（m+n），而AD：CM=m：n，可求CM，那么BM可求，把BM代入上式即可求EF．

解答：（1）證明：連接AF并延長，交BC的延長線于點M，（1分）
∵AD∥BM，
∴∠D=∠1，
∵點F為DC的中點，
∴DF=FC，
又∵∠2=∠3，
∴△ADF≌△MCF，
∴AF=FM，AD=CM，（3分）
∵點E為AB的中點，
∴EF是△ABM的中位線，
∴EF∥BC，EF=

1

2

BM，
∵BM=BC+CM=BC+AD，
∴EF=

1

2

（AD+BC），即EF=

1

2

（a+b）；（5分）

（2）答：EF∥BC，EF=

bm+an

m+n

，
證明：連接AF并延長，交BC的延長線于點M，
∵AD∥BM，
∴

AF

FM

=

AD

CM

=

DF

FC

又∵

AE

EB

=

DF

FC

=

m

n

，在△ABM中，有

AF

FM

=

AE

EB

∴EF∥BC，（9分）
∴

AE

AB

=

EF

BM

=

m

m+n

，
∴EF=

m

m+n

BM=

m

m+n

(BC+CM)，（10分）
而

AD

CM

=

DF

FC

=

m

n

，
∴CM=

nAD

m

=

na

m

，（11分）
∴EF=

m

m+n

（b+

an

m

），
∴EF=

bm+an

m+n

．

點評：本題利用了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的推論、比例線段的性質(zhì)等知識．