Question

已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，點(diǎn)E、F分別是BC和DC的中點(diǎn)，連接AE、EF和BD，AE和BD相交于點(diǎn)G．
（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；
（2）求證：四邊形EFDG是菱形．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)锳D∥BC，若要四邊形AECD是平行四邊形，即證明AD=CE即可；
（2）連接DE，易得四邊形ABED是平行四邊形，又由∠ABE=90°，可證得四邊形ABED是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易證得EF=GD=GE=DF，則可得四邊形EFDG是菱形．

解答：證明：（1）∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴EC=BE=

1

2

BC，
∵BC=2AD，
∴EC=AD，
∵AD∥EC，
∴四邊形AECD為平行四邊形；

（2）連接DE，
∵AD∥BE，AD=BE，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
又∵∠ABE=90°，
∴□ABED是矩形
∴BD=AE，GE=GA=

1

2

AE，GB=GD=

1

2

BD
∴GE=GD，
∵E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)
∴EF、GE是△CBD的兩條中位線，
∴EF=

1

2

BD=GD，GE=

1

2

CD=DF，
∴EF=GD=GE=DF，
∴四邊形EFDG是菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形與菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．