Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，以AC為一邊在△ABC作等邊三角形ACD，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點E，連接CE．
（1）求證：AE=CE=BE；
（2）若AB=15cm，BC=9cm，P是射線DE上的一點．則當DP為何值時，△PBC的周長最小，并求出此時△PBC的周長．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)題意得出∠AFE=∠ACE=90°可得出EF∥BC，再由點F是AC的中點可得出點E是斜邊AB的中點，繼而利用直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)可得出所證得結(jié)論．
（2）根據(jù)軸對稱求最短路徑的知識可得，點C關(guān)于DE的對稱點和點B的連線與DE的交點即是點P的位置，結(jié)合圖形及（1）可得點P的位置即是點E的位置，從而可求出此時△PBC的周長．

解答：（1）證明：∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴EF∥BC，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴點F是AC的中點（等腰三角形的三線合一的性質(zhì)），
∴EF是△ABC的中位線，即可得點E是斜邊AB的中點，
∴在RT△ABC中可得，AE=CE=BE；

（2）解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=15cm，BC=9cm，
∴AC=

AB2-BC2

=

152-92

=12，
∵等邊三角形ACD，DE⊥AC，
∴F是AC的中點，∠ADF=30°，
∴EF=

1

2

BC=

1

2

×9=4.5，AF=

1

2

AC=

1

2

×12=6，
∴AD=12cm，
∴DF=

AD2-AF2

=6

3

，
∴DE=DF+EF=6

3

+4.5（cm），
根據(jù)軸對稱求最短路徑的知識，可得當點P與點E重合的時候PB+PC最小，也即△PBC的周長最小，
此時PB=PC=

1

2

AB=

15

2

，即DP=DE=（6

3

+4.5）cm時，△PBC的周長最小，
故△PBC的最小周長=PB+PC+BC=15+9=24（cm）．

點評：本題考查利用軸對稱求最短路徑的知識，與實際結(jié)合得比較緊密，有一定的綜合性，解答本題（2）的關(guān)鍵是利用軸對稱的性質(zhì)確定點P的位置．