【題目】(2016寧夏第26題)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,動點Q從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度,沿AB向點B移動;同時點P從點B出發(fā),仍以每秒1個單位的速度,沿BC向點C移動,連接QP,QD,PD.若兩個點同時運動的時間為x秒(0<x3),解答下列問題:

(1)設QPD的面積為S,用含x的函數(shù)關系式表示S;當x為何值時,S有最大值?并求出最小值;

(2)是否存在x的值,使得QPDP?試說明理由.

【答案】(1)、S=(x2)2+4;x=2,最小值為4;(2)、存在,理由見解析.

【解析】

試題分析:(1)、可用x表示出AQ、BQ、BP、CP,從而可表示出SADQ、SBPQ、SPCD的面積,則可表示出S,再利用二次函數(shù)的增減性可求得是否有最大值,并能求得其最小值;(2)、用x表示出BQ、BP、PC,當QPDP時,可證明BPQ∽△CDP,利用相似三角形的性質(zhì)可得到關于x的方程,可求得x的值.

試題解析:(1)、四邊形ABCD為矩形, BC=AD=4,CD=AB=3, 當運動x秒時,則AQ=x,BP=x,

BQ=ABAQ=3x,CP=BCBP=4x,

SADQ=ADAQ=×4x=2x,SBPQ=BQBP=(3x)x=xx2,SPCD=PCCD=(4x)3=6x,

又S矩形ABCD=ABBC=3×4=12,

S=S矩形ABCDSADQSBPQSPCD=122xxx2(6x)=x22x+6=(x2)2+4,

即S=(x2)2+4, S為開口向上的二次函數(shù),且對稱軸為x=2,

當0<x<2時,S隨x的增大而減小,當2<x3時,S隨x的增大而增大,

又當x=0時,S=5,當S=3時,S=,但x的范圍內(nèi)取不到x=0,

S不存在最大值,當x=2時,S有最小值,最小值為4;

(2)、存在,理由如下:

由(1)可知BQ=3x,BP=x,CP=4x, 當QPDP時,則BPQ+DPC=DPC+PDC,

∴∠BPQ=PDC,且B=C, ∴△BPQ∽△PCD,

=,即=,解得x=(舍去)或x=,

當x=時QPDP.

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所以∠BGF+∠3=180°__________

因為∠2+∠EFD=180°(鄰補角的性質(zhì)).

所以∠EFD=________.(等式性質(zhì)).

因為FG平分∠EFD(已知).

所以∠3=________∠EFD(角平分線的性質(zhì)).

所以∠3=________.(等式性質(zhì)).

所以∠BGF=________.(等式性質(zhì)).

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(3)爸爸在乙處等代理7秒后綠燈亮起繼續(xù)前行,為了節(jié)約能源,減少剎車,媽媽駕車從家出發(fā)的行駛過程中,速度v(m/s)與時間t(s)的關系如圖1中的折線OBC所示,行駛路程s(m)與時間t(s)的關系也滿足s=at2,當她行駛到甲處時,前方的綠燈剛好亮起,求此時媽媽駕車的行駛速度.

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