Question

等腰△ABC中，AB=AC，有一個(gè)角為36°，則tanB的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：黃金分割

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠BAC=36°，∠B=∠ACB=72°，作∠ACB的平分線CD，AH⊥BC于H，如圖，則BH=CH，∠BCD=∠ACD=36°，再根據(jù)等腰三角形的判定定理得DA=DC=BC，根據(jù)相似的判定得△CBD∽△ABC，利用相似比得到AD²=BD•AB，則根據(jù)黃金分割的定義有AD=

5 -1

2

AB，設(shè)AB=2，則AD=

5

-1，
BC=

5

-1，BH=

5 -1

2

，在Rt△ABH中，利用勾股定理計(jì)算出AH²=

5+ 5

2

，接著利用正切的定義得到tan²B=5+2

5

，然后利用算術(shù)平方根的定義即可得到
tanB的值．

解答：解：∵AB=AC，有一個(gè)角為36°，
∴∠BAC=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
作∠ACB的平分線CD，AH⊥BC于H，如圖，
則BH=CH，∠BCD=∠ACD=36°，
∴∠BDC=72°
∴DA=DC=BC，△CBD∽△ABC，
∴BC：AB=BD：BC，
∴AD²=BD•AB，
∴D點(diǎn)為AB的黃金分割點(diǎn)，
∴AD=

5 -1

2

AB，
設(shè)AB=2，則AD=

5

-1，
∴BC=

5

-1，
∴BH=

5 -1

2

，
在Rt△ABH中，AH²=AB²-BH²=2²-（

5 -1

2

）²=

5+ 5

2

，
∴tan²B=

AH2

BH2

=

5+ 5 2

( 5 -1 2 )2

=5+2

5

，
∴tanB=

5+2 5

．
同理，當(dāng)∠ABC=∠ACB=36°時(shí)，tanB=

5-2 5

．
綜上所述，tanB=

5+2 5

或tanB=

5-2 5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．