【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF為正三角形,E、F在菱形的邊BC,CD上.
(1)證明:BE=CF.
(2)當(dāng)點E,F(xiàn)分別在邊BC,CD上移動時(△AEF保持為正三角形),請?zhí)骄克倪呅蜛ECF的面積是否發(fā)生變化?若不變,求出這個定值;如果變化,求出其最大值.
(3)在(2)的情況下,請?zhí)骄俊鰿EF的面積是否發(fā)生變化?若不變,求出這個定值;如果變化,求出其最大值.
【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析
【解析】試題分析:(1)先求證AB=AC,進而求證△ABC、△ACD為等邊三角形,得∠4=60°,AC=AB進而求證△ABE≌△ACF,即可求得BE=CF;
(2)根據(jù)△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF,故根據(jù)S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解題;
(3)當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時,邊AE最短.△AEF的面積會隨著AE的變化而變化,且當(dāng)AE最短時,正三角形AEF的面積會最小,又根據(jù)S△CEF=S四邊形AECF-S△AEF,則△CEF的面積就會最大.
試題解析:(1)證明:連接AC,
∵∠1+∠2=60°,∠3+∠2=60°,
∴∠1=∠3,
∵∠BAD=120°,
∴∠ABC=∠ADC=60°
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,
∴△ABC、△ACD為等邊三角形
∴∠4=60°,AC=AB,
∴在△ABE和△ACF中,
,
∴△ABE≌△ACF.(ASA)
∴BE=CF.
(2)解:由(1)得△ABE≌△ACF,
則S△ABE=S△ACF.
故S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC,
是定值.
作AH⊥BC于H點,
則BH=2,
S四邊形AECF=S△ABC
=
=
=;
(3)解:由“垂線段最短”可知,
當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時,邊AE最短.
故△AEF的面積會隨著AE的變化而變化,且當(dāng)AE最短時,
正三角形AEF的面積會最小,
又S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF,則△CEF的面積就會最大.
由(2)得,S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF
=﹣=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在不透明的袋子中有四張標著數(shù)字1,2,3,4的卡片,小明、小華兩人按照各自的規(guī)則玩抽卡片游戲.
小明畫出樹狀圖如圖所示:
小華列出表格如下:
回答下列問題:
(1)根據(jù)小明畫出的樹形圖分析,他的游戲規(guī)則是,隨機抽出一張卡片后 (填“放回”或“不放回”),再隨機抽出一張卡片;
(2)根據(jù)小華的游戲規(guī)則,表格中①表示的有序數(shù)對為 ;
(3)規(guī)定兩次抽到的數(shù)字之和為奇數(shù)的獲勝,你認為誰獲勝的可能性大?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,甲和乙同時從學(xué)校放學(xué),兩人以各自送度勻速步行回家,甲的家在學(xué)校的正西方向,乙的家在學(xué)校的正東方向,乙家離學(xué)校的距離比甲家離學(xué)校的距離遠3900米,甲準備一回家就開始做什業(yè),打開書包時發(fā)現(xiàn)錯拿了乙的練習(xí)冊.于是立即步去追乙,終于在途中追上了乙并交還了練習(xí)冊,然后再以先前的速度步行回家,(甲在家中耽擱和交還作業(yè)的時間忽略不計)結(jié)果甲比乙晚回到家中,如圖是兩人之間的距離y米與他們從學(xué)校出發(fā)的時間x分鐘的函數(shù)關(guān)系圖,則甲的家和乙的家相距_____米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標為Q(2,﹣1),且與y軸交于點C(0,3),與x軸交于A,B兩點(點A在點B的右側(cè)),點P是該拋物線上的一動點,從點C沿拋物線向點A運動(點P與A不重合),過點P作PD∥y軸,交AC于點D.
(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)△ADP是直角三角形時,求點P的坐標;
(3)在題(2)的結(jié)論下,若點E在x軸上,點F在拋物線上,問是否存在以A、P、E、F為頂點的平行四邊形?若存在,求點F的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解本校九年級學(xué)生期末數(shù)學(xué)考試情況,小亮在九年級隨機抽取了一部分學(xué)生的期末數(shù)學(xué)成績?yōu)闃颖,分為A(100﹣90分)、B(89~80分)、C(79~60分)、D(59~0分)四個等級進行統(tǒng)計,并將統(tǒng)計結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計圖,請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答以下問題:
(1)這次隨機抽取的學(xué)生共有多少人?
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)這個學(xué)校九年級共有學(xué)生1200人,若分數(shù)為80分(含80分)以上為優(yōu)秀,請估計這次九年級學(xué)生期末數(shù)學(xué)考試成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)大約有多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是的中線,點是線段上一點(不與點重合).過點作,交于點,過點作,交的延長線于點,連接、.
(1)求證:;
(2)求證:;
(3)判斷線段、的關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy 中,點A 的坐標為(1,0),P 是第一象限內(nèi)任意一點,連接PO,PA,若∠POA=m°,∠PAO=n°,則我們把(m°,n°)叫做點P 的“雙角坐標”.例如,點(1,1)的“雙角坐標”為(45°,90°).若點P到x軸的距離為,則m+n 的最小值為___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O直徑,D為⊙O上一點,AT 平分∠BAD交⊙O于點 T,過 T 作AD的垂線交 A D的延長線于點 C。
(1)求證:CT為⊙O的切線;
(2)若⊙O半徑為2,CT=,求AD的長。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知、兩地相距1500米,甲、乙兩人分別從、兩地同時出發(fā),沿著同一條直線公路相向而行.若甲以7.5米/秒的速度騎自行車前進,乙以2.5米/秒的速度步行,甲出發(fā)1分鐘后忘記帶東西,迅速返回去。ǖ纛^時間及取東西時間不計),則在乙出發(fā)經(jīng)過__________秒兩人相距100米.
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