【題目】如圖1所示,已知拋物線的頂點為D,與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,E為對稱軸上的一點,連接CE,將線段CE繞點E按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后,點C的對應(yīng)點C′恰好落在y軸上.
(1)直接寫出D點和E點的坐標(biāo);
(2)點F為直線C′E與已知拋物線的一個交點,點H是拋物線上C與F之間的一個動點,若過點H作直線HG與y軸平行,且與直線C′E交于點G,設(shè)點H的橫坐標(biāo)為m(0<m<4),那么當(dāng)m為何值時,=5:6?
(3)圖2所示的拋物線是由向右平移1個單位后得到的,點T(5,y)在拋物線上,點P是拋物線上O與T之間的任意一點,在線段OT上是否存在一點Q,使△PQT是等腰直角三角形?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)D(2,9),E(2,3);(2),;(3)(1,1)或(3,3)或(2,2).
【解析】
試題(1)把拋物線配方,即可得到頂點為D的坐標(biāo),然后設(shè)點E的坐標(biāo)是(2,m),點C′的坐標(biāo)是(0,n),根據(jù)△CEC′是等腰直角三角形,求出E點的坐標(biāo);
(2)令拋物線的y=0,可求得A、B的坐標(biāo),然后再根據(jù)=5:6,得到:,然后再證明△HGM∽△ABN,,從而可證得,所以HG=5,設(shè)點H(m,﹣m2+4m+5),G(m,m+1),最后根據(jù)HG=5,列出關(guān)于m的方程求解即可;
(3)分別根據(jù)∠P、∠Q、∠T為直角畫出圖形,然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)求得點Q的坐標(biāo)即可.
試題解析:(1)∵拋物線=,∴D點的坐標(biāo)是(2,9),∵E為對稱軸上的一點,∴點E的橫坐標(biāo)是2,設(shè)點E的坐標(biāo)是(2,m),點C′的坐標(biāo)是(0,n),∵將線段CE繞點E按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后,點C的對應(yīng)點C′恰好落在y軸上,∴△CEC′是等腰直角三角形,∴,解得:或(舍去),∴點E的坐標(biāo)是(2,3),點C′的坐標(biāo)是(0,1).
綜上,可得D點的坐標(biāo)是(2,9),點E的坐標(biāo)是(2,3).
(2)如圖1所示:
令拋物線的y=0得:,解得:,,所以點A(﹣1,0),B(5,0).設(shè)直線C′E的解析式是,將E(2,3),C′(0,1),代入得,解得:,∴直線C′E的解析式為,聯(lián)立得:,解得:,或,∴點F得坐標(biāo)為(4,5),點A(﹣1,0)在直線C′E上.∵直線C′E的解析式為,∴∠FAB=45°.過點B、H分別作BN⊥AF、HM⊥AF,垂足分別為N、M.∴∠HMN=90°,∠ADN=90°,又∵∠NAD=∠HNM=45°,∴△HGM∽△ABN,∴,∵=5:6,∴.∴,即,∴HG=5.設(shè)點H的橫坐標(biāo)為m,則點H的縱坐標(biāo)為,則點G的坐標(biāo)為(m,m+1),∴.解得:,;
(3)由平移的規(guī)律可知:平移后拋物線的解析式為=.將x=5代入得:y=5,∴點T的坐標(biāo)為(5,5).設(shè)直線OT的解析式為,將x=5,y=5代入得;k=1,∴直線OT的解析式為,
①如圖2所示:當(dāng)PT∥x軸時,△PTQ為等腰直角三角形,
將y=5代入拋物線得:,解得:,.∴點P的坐標(biāo)為(1,5).將x=1代入得:y=1,∴點Q的坐標(biāo)為(1,1);
②如圖3所示:
由①可知:點P的坐標(biāo)為(1,5).∵△PTQ為等腰直角三角形,∴點Q的橫坐標(biāo)為3,將x=3代入得;y=3,∴點Q得坐標(biāo)為(3,3);
③如圖4所示:
設(shè)直線PT解析式為,∵直線PT⊥QT,∴k=﹣1,將k=﹣1,x=5,y=5代入得:b=10,∴直線PT的解析式為.聯(lián)立得:,解得:,,∴點P的橫坐標(biāo)為2,將x=2代入得,y=2,∴點Q的坐標(biāo)為(2,2).
綜上所述:點Q的坐標(biāo)為(1,1)或(3,3)或(2,2).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形硬紙片ABCD的頂點A在軸的正半軸及原點上滑動,頂點B在軸的正半軸及原點上滑動,點E為AB的中點,AB=24,BC=5,給出下列結(jié)論:①點A從點O出發(fā),到點B運動至點O為止,點E經(jīng)過的路徑長為12π;②△OAB的面積的最大值為144;③當(dāng)OD最大時,點D的坐標(biāo)為,其中正確的結(jié)論是_________(填寫序號).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD是菱形,點A(0,4),B(﹣3,0)反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),k≠0,x>0)的圖象經(jīng)過點D.
(1)填空:k=_____.
(2)已知在y=的圖象上有一點N,y軸上有一點M,且四邊形ABMN是平行四邊形,求點M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某市市民“綠色出行”方式的情況,某校數(shù)學(xué)興趣小組以問卷調(diào)查的形式,隨機(jī)調(diào)查了某市部分出行市民的主要出行方式(參與問卷調(diào)查的市民都只從以下五個種類中選擇一類),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖.
種類 | A | B | C | D | E |
出行方式 | 共享單車 | 步行 | 公交車 | 的士 | 私家車 |
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)參與本次問卷調(diào)查的市民共有 人,其中選擇B類的人數(shù)有 人;
(2)在扇形統(tǒng)計圖中,求A類對應(yīng)扇形圓心角α的度數(shù),并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)該市約有12萬人出行,若將A,B,C這三類出行方式均視為“綠色出行”方式,請估計該市“綠色出行”方式的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】東坡商貿(mào)公司購進(jìn)某種水果的成本為20元/kg,經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),這種水果在未來48天的銷售單價p(元/kg)與時間t(天)之間的函數(shù)關(guān)系式為:
,且其日銷售量y(kg)與時間t(天)的關(guān)系如下表:
(1)已知y與t之間的變化規(guī)律符合一次函數(shù)關(guān)系,試求在第30天的日銷售量是多少?
(2)問哪一天的銷售利潤最大?最大日銷售利潤為多少?
(3)在實際銷售的前24天中,公司決定每銷售1kg水果就捐贈n元利潤(n<9)給“精準(zhǔn)扶貧”對象.現(xiàn)發(fā)現(xiàn):在前24天中,每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大,求n的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D是AC邊上的中點,連結(jié)BD,把△BDC′沿BD翻折,得到△,DC與AB交于點E,連結(jié),若AD=AC′=2,BD=3則點D到BC的距離為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面在角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2-2x-3與x軸交與點A,B(點A在點B的左側(cè))交y軸于點C,點D為拋物線的頂點,對稱軸與x軸交于點E.
(1)連結(jié)BD,點M是線段BD上一動點(點M不與端點B,D重合),過點M作MN⊥BD交拋物線于點N(點N在對稱軸的右側(cè)),過點N作NH⊥x軸,垂足為H,交BD于點F,點P是線段OC上一動點,當(dāng)MN取得最大值時,求HF+FP+PC的最小值;
(2)在(1)中,當(dāng)MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值時,把點P向上平移個單位得到點Q,連結(jié)AQ,把△AOQ繞點O瓶時針旋轉(zhuǎn)一定的角度(0°<<360°),得到△AOQ,其中邊AQ交坐標(biāo)軸于點C在旋轉(zhuǎn)過程中,是否存在一點G使得?若存在,請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O.
(1)作∠B的平分線與⊙O交于點D(用尺規(guī)作圖,不用寫作法,但要保留作圖痕跡);
(2)在(1)中,連接AD,若∠BAC=60°,∠C=66°,求∠DAC的大小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的動點P和圖形N,給出如下定義:如果Q為圖形N上一個動點,P,Q兩點間距離的最大值為dmax,P,Q兩點間距離的最小值為dmin,我們把dmax+dmin的值叫點P和圖形N間的“和距離”,記作d(P,圖形N).
(1)如圖1,正方形ABCD的中心為點O,A(3,3).
①點O到線段AB的“和距離”d(O,線段AB)=______;
②設(shè)該正方形與y軸交于點E和F,點P在線段EF上,d(P,正方形ABCD)=7,求點P的坐標(biāo).
(2)如圖2,在(1)的條件下,過C,D兩點作射線CD,連接AC,點M是射線CD上的一個動點,如果6<d(M,線段AC)<6+3,直接寫出M點橫坐標(biāo)t取值范圍.
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