Question

如圖，拋物線y=mx²-2mx-3m（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）請(qǐng)求出拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）經(jīng)探究可知，△BCM與△ABC的面積比不變，試求出這個(gè)比值；
（3）是否存在使△BCM為直角三角形的拋物線？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)y=0，進(jìn)而求出x的值，得出A，B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用S_△BCM=S_BDM+S_OCMD-S_△OBC，分別表示出兩三角形的面積，進(jìn)而求出即可；
（3）分別利用①當(dāng)∠BMC=90°時(shí)，②當(dāng)∠BCM=90°時(shí)，③當(dāng)∠CBM=90°時(shí)，分別求出即可．

解答：解：（1）∵y=mx²-2mx-3m=m（x-1）²-4m．
∴M（1，-4m）．
當(dāng)y=0，mx²-2mx-3m=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；       
           
（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=-3m，
∴C（0，-3m）．
∴S△ABC=

1

2

×2×|-3m|=6m．
過點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，則OD=1，BD=2，MD=4m．
∴S_△BCM=S_BDM+S_OCMD-S_△OBC=

1

2

×2×4m+

1

2

(3m+4m)×1-

1

2

×3×3m=3m．
∴S_△BCM：S_△ABC=1：2．              

（3）過點(diǎn)C作CN⊥DM于點(diǎn)N，則CM²=m²+1，BC²=9m²+9，BM²=16m²+4．
①當(dāng)∠BMC=90°時(shí)，CM²+BM²=BC²，即1+m²+4+16m²=9m²+9，
解得：m1=

2

2

，m2=-

2

2

（舍去）．
②當(dāng)∠BCM=90°時(shí)，BC²+CM²=BM²，即9m²+9+m²+1=16m²+4．
解得：m₁=1，m₂=-1（舍去）．
③當(dāng)∠CBM=90°時(shí)，BC²+BM²=CM²，即9m²+9+16m²+4=m²+1．
此方程無解．
綜上所述，存在m=

2

2

或m=1，存在使△BCM為直角三角形的拋物線．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用和三角形面積求法等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．