Question

已知二次函數(shù)y=x²-2mx+m²+3（m是常數(shù)）．
（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)；
（2）把該函數(shù)的圖象沿y軸向下平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)？

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：代數(shù)綜合題

分析：（1）求出根的判別式，即可得出答案；
（2）先化成頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和平移的性質(zhì)得出即可．

解答：（1）證明：∵△=（-2m）²-4×1×（m²+3）=4m²-4m²-12=-12＜0，
∴方程x²-2mx+m²+3=0沒有實(shí)數(shù)解，
即不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)；

（2）解：y=x²-2mx+m²+3=（x-m）²+3，
把函數(shù)y=（x-m）²+3的圖象沿y軸向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)y=（x-m）²的圖象，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（m，0），
因此，這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以，把函數(shù)y=x²-2mx+m²+3的圖象沿y軸向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)和x軸的交點(diǎn)問題，根的判別式，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與幾何變換的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，題目比較好，有一定的難度．