Question

如圖，將?ABCD（紙片）沿過對角線交點(diǎn)O的直線EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A₁處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B₁處，設(shè)FB₁交CD于點(diǎn)G，A₁B₁分別交CD，DE于點(diǎn)H，I．求證：EI=FG．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：證明題

分析：首先連接AC，由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行線的性質(zhì)，可得∠1=∠2，繼而利用ASA，即可證得△AOE≌△COF，則可證得AE=CF．然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與折疊性質(zhì)，易得A₁E=CF，∠A₁=∠A=∠C，∠B₁=∠B=∠D，繼而可證得△A₁IE≌△CGF，即可證得EI=FG．

解答：證明：連接AC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，OA=OC，AD=BC，
∴∠OAE=∠OCF，
∵在△AOE和△COF中，

∠OAE=∠OCF OA=OC ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF；
由折疊的性質(zhì)可得：AE=A₁E，∠A₁=∠A，∠B₁=∠B，
∴A₁E=CF，∠A₁=∠A=∠C，∠B₁=∠B=∠D，
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠5=∠3，∠4=∠6，
∴∠5=∠6，
∵在△A₁IE與△CGF中，

∠A1=∠C  ∠5=∠6  A1E=CF

，
∴△A₁IE≌△CGF（AAS），
∴EI=FG．

點(diǎn)評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．