Question

在平面直角坐標系的x軸上有兩點A（x₁，0），B（x₂，0），在y軸上有一點C，已知x₁，x₂是方程x²-m²x-5=0的兩根，且x₁²+x₂²=26，△ABC面積是9．
（1）A，B，C三點的坐標；
（2）求圖象過A，B，C三點的二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

解：（1）由已知得x₁+x₂=m²，x₁•x₂=-5，又x₁²+x₂²=26，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=26，（m²）²+10=26，
∴m²=4，原方程為x²-4x-5=0
解得，x₁=-1，x₂=5，AB=6，
設C（0，h），則：×6×|h|=9，h=±3
∴A（-1，0）B（5，0），C（0，3）或（0，-3）；

（2）設拋物線交點式：y=a（x+1）（x-5），
當C（0，3）時，代入得a=-，
二次函數(shù)解析式為y=-x²+x+3；
當C（0，-3）時，a=，
二次函數(shù)解析式為y=x²-x-3．
分析：（1）已知x₁，x₂是方程x²-m²x-5=0的兩根，可根據(jù)兩根關系及x₁²+x₂²=26，結合起來求m；
（2）由（1）可知m²=4，方程為x²-4x-5=0，解得x₁=-1，x₂=5；可設拋物線解析式的交點式，然后根據(jù)面積求C點坐標，代入即可得二次函數(shù)解析式．
點評：本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)關系，拋物線解析式的求法，面積與點的坐標的關系等知識．