Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與y軸的正半軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B（2，0），三角形△ABO的面積為2．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在射線OB上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從B出發(fā)，沿x軸的正半軸與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作PM⊥X軸交直線AB于M．

（1）求直線AB的解析式．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)△MPQ的面積為S，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出自變量的取值范圍）．

（3）過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥X軸交直線AB于N，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中（P不與B重合），是否存在某一時(shí)刻t（秒），使△MNQ是等腰三角形？若存在，求出時(shí)間t值．

Answer 1

【答案】（1）直線AB的解析式為y=﹣x+2；（2）t=或4時(shí)，△MNQ是等腰三角形．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)三角形的面積求出OA，再寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；

（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)表示出PM，再求出PQ的長(zhǎng)，然后利用直角三角形的面積公式列式整理即可得解；

（3）表示出PM、QN，再利用勾股定理列式表示出QM2，再求出MN，然后分MN=QN，MN=QM，QN=QM三種情況列出方程求解即可．

試題解析：解：（1）∵點(diǎn)B（2，0），∴OB=2，∴S△ABO=OBOA=×2OA=2，解得OA=2，∴點(diǎn)A（0，2），設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則： ，解得： ，∴直線AB的解析式為y=﹣x+2；

（2）∵OA=OB=2，∴△ABO是等腰直角三角形，∵點(diǎn)P、Q的速度都是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，∴PM=PB=OB﹣OP=2﹣t，PQ=OB=2，∴△MPQ的面積為S=PQPM=×2×（2﹣t）=2﹣t，∵點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)，∴0＜t＜2，∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=2﹣t（0＜t＜2）；

（3）t秒時(shí)，PM=PB=|2﹣t|，QN=BQ=t，所以，QM2=PM2+PQ2=（2﹣t）2+4，MN=（QN﹣PM）=（t﹣t﹣2）=．

①若MN=QN，則t=；

②若MN=QM，則（2﹣t）2+4=（）2，整理得，t2﹣4t=0，解得t1=0（舍去），t2=4；

③若QN=QM，則（2﹣t）2+4=t2，理得，4t﹣8=0，解得t=2，此時(shí)點(diǎn)P在與點(diǎn)B重合，不合題意舍去．

綜上所述，t=或4時(shí)，△MNQ是等腰三角形．