Question

【題目】已知拋物線，，直線．

（1）若該拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）證明：該拋物線與直線必有兩個(gè)交點(diǎn)；

（3）若該拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式都成立；當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)的最小值為．求直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）證明見解析；（3）直線l的解析式為y=－x+1或．

【解析】

(1)拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即：，解得：，即可求解；

(2)聯(lián)立拋物線和直線的表達(dá)式得：x2-(k+3m)x-4=0，判斷，即可證明；

(3)分、、三種情況，分別求解即可．

(1)依題意可知，

則，

∴該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，

∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

(2)證明：將代入，

整理得：，

∵，，，

∴ [-(k+3m)]2-4×(-4)=(k+3m)2+16＞0，

∴該拋物線與直線l必有兩個(gè)交點(diǎn)；

(3)由拋物線經(jīng)過點(diǎn)(t，-4)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式都成立，

得拋物線的最小值為-4．

∵

，

∴，

整理得3m2+2m-5=0，解得：m=1或

∵，

∴，舍去，

當(dāng)m=1時(shí)，拋物線的解析式為，

此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸為直線，

①當(dāng)k＜1時(shí)，拋物線在上，函數(shù)值y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=k時(shí)，，

∴，

解得：或k=2(舍去)，

直線l的解析式為；

②當(dāng)時(shí)，即，拋物線在上，，

∴，解得，

直線l的解析式為；

③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，拋物線在上，函數(shù)值y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=k-2時(shí)，=(k-2)2-2(k-2)-3，

∴(k-2)2-2(k-2)-3=-2k+1，

解得：k1=k2=2，

與k-2＞1矛盾，不符合題意，

綜上，直線l的解析式為y=-x+1或．