Question

如圖，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于O，經過A、O的圓分別與AB、AD相交于E、F，EF與AO相交于G，AD=16．
（1）圖中有哪些三角形與△AGF相似（只寫出結論，不必證明）；
（2）試證明AE+AF是一個定值，并指出這個定值為多少？
（3）若AG：GO=3：5，且AF＞AE，求DH的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)正方形的性質得到∠EAO=∠FAG=∠FDO=45°，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到∠OEG=∠OAF=45°，∠AOE=∠AFO，根據(jù)圓周角定理由∠EAF=90°得到EF為⊙O的直徑，則∠EOF=90°，而∠AOD=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠AOE=∠DOF，然后利用三角形相似的判定可得到△AGF∽△EGO∽△AEO∽△DFO；
（2）首先可證△AEO≌△DFO，即可得AE=DF，繼而求得AE+AF的值；
（3）根據(jù)正方形的性質可判斷△OAD為等腰直角三角形，則OA=OD=

2

2

AD=8

2

，所以AG=3

2

，GO=5

2

，再由△EGO∽△AEO，利用相似比可計算出OE=4

5

，
再判斷△OEF為等腰直角三角形，則EF=

2

OE=4

10

，接著由△AGF∽△EGO，利用相似比可先計算EG=

10

，再計算出AF=12，則DF=AD-AF=4，
然后根據(jù)切割線定理計算DH．

解答：解：（1）與△AGF相似的有△EGO、△AEO、△DFO；
（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OD，∠BAO=∠DAO=45°，
在△AEO與△DFO中

∠EAO=∠FDO ∠AEO=∠DFO OA=OD

，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴AE=DF，
∴AE+AF=AD=16；
（3）∵四邊形ABCD是正方形，
∴△OAD為等腰直角三角形，
∴OA=OD=

2

2

AD=8

2

，
∵AG：GO=3：5，
∴AG=3

2

，GO=5

2

，
∵△EGO∽△AEO，
∴OE：OA=OG：OE，即OE²=OA•OG=8

2

•5

2

=80，
∴OE=4

5

，
∵∠EAO=∠EFO=45°，∠EOF=90°，
∴△OEF為等腰直角三角形，
∴EF=

2

OE=4

10

，
∵△AGF∽△EGO，
∴AG：EG=FG：OG，即3

2

：EG=（4

10

-EG）：5

2

，
解得EG=

10

，EG=3

10

（舍去），
∴AF：OE=AG：EG，即AF：4

5

=3

2

：

10

，
∴AF=12，
∴DF=AD-AF=4，
∵DF•DA=DH•DO，
∴DH=

4×16

8 2

=4

2

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形對應角相等，對應邊的比相等．也考查了全等三角形的判定與性質、圓周角定理和正方形的性質．