Question

（1）在圖①的半徑為R的半圓O內(nèi)（含�。�，求出一邊落在直徑MN上的最大的正三角形的面積？

（2）在圖②的半徑為R的半圓O內(nèi)（含弧），求出一邊落在直徑MN上的最大的正方形的面積？

問題解決

（3）如圖③，現(xiàn)有一塊半徑R=6的半圓形鋼板，是否可以裁出一邊落在MN上的面積最大的矩形？若存在，請說明理由，并求出這個矩形的面積；若不存在，說明理由？

 

 

Answer 1

（1）R2；（2）R2；（3）存在，36．

【解析】

試題分析：（1）如圖①，△ACB為滿足條件的面積最大的正三角形．連接OC，則OC⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到AB=2OB，然后利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系求出OB，再利用三角形的面積公式計算即可；

（2）如圖②，正方形ABCD為滿足條件的面積最大的正方形．連接OA．令OB=a，則AB=2a，利用勾股定理求出邊長，再利用正方形的面積公式計算即可；

（3）如圖③，先作一邊落在直徑MN上的矩形ABCD，使點A、D在弧MN上，再作半圓O及矩形ABCD關(guān)于直徑MN所在直線的對稱圖形，A、D的對稱點分別是A′、D′．連接A′D、OD，則A′D為⊙O的直徑．在Rt△AA′D中，當(dāng)OA⊥A′D時，S△AA′D的面積最大．

（1）如圖①，△ACB為滿足條件的面積最大的正三角形．

連接OC，則OC⊥AB．

∵AB=2OB•tan30°=R，

∴S△ACB=AB•OC=×R•R=R2．

（2）如圖②，正方形ABCD為滿足條件的面積最大的正方形．

連接OA．令OB=a，則AB=2a．

在Rt△ABO中，a2+（2a）2=R2．

即a2=R2．

S正方形ABCD=（2a）2=R2．

（3）存在．

如圖③，先作一邊落在直徑MN上的矩形ABCD，使點A、D在弧MN上，再作半圓O及矩形ABCD關(guān)于直徑MN

所在直線的對稱圖形，A、D的對稱點分別是A′、D′．

連接A′D、OD，則A′D為⊙O的直徑．

∴S矩形ABCD=AB•AD=AA′•AD=S△AA′D

∵在Rt△AA′D中，當(dāng)OA⊥A′D時，S△AA′D的面積最大．

∴S矩形ABCD最大=•2R•R=R2=36．

考點: 1.垂徑定理；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.勾股定理；4.正方形的性質(zhì)．