Question

函數(shù)y=

ax+k

x+b

（a、b、k都是常數(shù)，且k≠ab）叫做“奇特函數(shù)”，當a=b=0時，奇特函數(shù)y=

ax+k

x+b

就成為反比例函數(shù)y=

k

x

（k是常數(shù)，且k≠0）．
（1）若矩形的兩邊長分別是2cm、3cm，當兩邊長分別增加xcm、ycm后得到的新矩形的面積是8cm²，求y與x的函數(shù)關系式，并判斷這個函數(shù)是否“奇特函數(shù)”；
（2）如圖在直角坐標系中，點O為原點矩形OABC的頂點，A、C坐標分別為（9，0）、（0，3），點D是OA中點，連接OB、CD交于E，“奇特函數(shù)”y=

ax+k

x-6

的圖象經(jīng)過點B、E，求這個函數(shù)的解析式，并判斷A、C、D三點是否在這個函數(shù)圖象上；
（3）對于（2）中的“奇特函數(shù)”y=

ax+k

x-6

的圖象，能否經(jīng)過適當?shù)淖儞Q后與一個反比例函數(shù)圖象重合，若能，請直接寫出具體的變換過程和這個反比例函數(shù)解析式；若不能，請簡述理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的面積公式，可得函數(shù)解析式，根據(jù)分式的加減，可得答案；
（2）根據(jù)圖象的交點，可得E點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得奇特函數(shù)解析式，把A、C、D點的坐標代入這個函數(shù)的解析式判斷即可；
（3）把y=

2x-9

x-6

變形為y=

3

x-6

+2，即可得出向左平移6個單位長度，向下平移2個單位長度，得到反比例函數(shù)y=

3

x

．

解答：解：（1）由題意得：（2+x）（3+y）=8，
∵x+2≠0，
∴3+y=

8

x+2

，
∴y=

8

x+2

-3=

-3x+2

x+2

，
根據(jù)新定義判斷得出這個函數(shù)是“奇特函數(shù)”；
（2）由題意得：點B的坐標是（9，3），
設直線OB解析式為y=k₁x，則3=9k，k=

1

3

，
直線OB解析式為y=

1

3

x，
∵點D是OA中點，
∴點D的坐標是（

9

2

，0），
設直線CD解析式為y=k₂x+b，
則

3=b 0= 9 2 k+b

，
解得：k=-

2

3

直線CD解析式為y=-

2

3

x+3，
由

y= 1 3 x y=- 2 3 x+3

得：

x=3 y=1

，
則點E的坐標是（3，1），
將B（9，3），E（3，1）代入函數(shù)y=

ax+k

x-6

得：

3= 9a+k 9-6 1= 3a+k 3-6

，
解得：

a=2 k=-9

，
則“奇特函數(shù)”的解析式為y=

2x-9

x-6

，
∵把A點的坐標（9，0）代入得：y=

2×9-9

9-6

≠0，∴A點不在這個函數(shù)圖象上，
∵把C點的坐標（0，3）代入得：y=

2×0-9

9-6

≠3，∴C點不在這個函數(shù)圖象上，
∵把D點的坐標（

9

2

，0）代入得：y=

2× 9 2 -9

9 2 -6

=0，∴D點在這個函數(shù)圖象上；
（3）∵y=

2x-9

x-6

=

2x-12+3

x-6

=

3

x-6

+2，
∴向左平移6個單位長度，向下平移2個單位長度，得到反比例函數(shù)y=

3

x

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合，用到的知識點是反比例函數(shù)的圖象和性質、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式式、函數(shù)圖象的交點的求法、函數(shù)的圖象平移的方法，關鍵是理解有關概念，求出函數(shù)的解析式．