如圖①，在平面直角坐標系中，AB、CD都垂直于x軸，垂足分別為B、D且AD與B相交于E點．已知：A（-2，-6），C（1，-3）
（1）求證：E點在y軸上；
（2）如果有一拋物線經過A，E，C三點，求此拋物線方程．
（3）如果AB位置不變，再將DC水平向右移動k（k＞0）個單位，此時AD與BC相交于E′點，如圖②，求△AE′C的面積S關于k的函數(shù)解析式．
（1）證明：由D（1，0），A（-2，-6），
得DA直線方程：y=2x-2①
再由B（-2，0），C（1，-3），
得BC直線方程：y=-x-2②
結合①②得
x=0
y=-2
，
∴E點坐標（0，-2），
即E點在y軸上．

（2）設拋物線的方程y=ax2+bx+c（a≠0）過A（-2，-6），C（1，-3），
E（0，-2）三點，得方程組
4a-2b+c=-6
a+b+c=-3
c=-2

解得a=-1，b=0，c=-2，
∴拋物線解析式為y=-x2-2．

（3）∵BA∥DC，
∴S△BCA=S△BDA
∴S△AE′C=S△BDE′=
1
2
BD•E′F=
1
2
（3+k）×2=3+k．
∴S=3+k為所求函數(shù)解析式．
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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，等腰直角三角形紙片ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，直角邊AC在x軸上，B點在第二象限，A（1，0），AB交y軸于E，將紙片過E點折疊使BE與EA所在直線重合，得到折痕EF（F在x軸上），再展開還原沿EF剪開得到四邊形BCFE，然后把四邊形BCFE從E點開始沿射線EA平移，至B點到達A點停止．設平移時間為t（s），移動速度為每秒1個單位長度，平移中四邊形BCFE與△AEF重疊的面積為S．
（1）求折痕EF的長；
（2）是否存在某一時刻t使平移中直角頂點C經過拋物線y=x2+4x+3的頂點？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由；
（3）直接寫出S與t的函數(shù)關系式及自變量t的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知平面直角坐標系xOy，一次函數(shù)y=
3
4
x+3的圖象與y軸交于點A，點M在正比例函數(shù)y=
3
2
x的圖象上，且MO=MA．二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經過點A，M．求這個二次函數(shù)的解析式．

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某公司生產的A種產品，每件成本是2元，每件售價是3元，一年的銷售量是10萬件．為了獲得更多的利潤，公司準備拿出一定資金來做廣告．根據經驗，每年投入的廣告費為x（萬元）時，產品的年銷售量是原來的y倍，且y是x的二次函數(shù)，公司作了預測，知x與y之間的對應關系如下表：
x（萬元）012…
y11.51.8…
（1）根據上表，求y關于x的函數(shù)關系式；
（2）如果把利潤看成是銷售總額減去成本和廣告費，請你寫出年利潤S（萬元）與廣告費x（萬元）的函數(shù)關系式；
（3）從上面的函數(shù)關系式中，你能得出什么結論？

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖拋物線y=-
3
3
x2-
2
3
3
x+
3
，x軸于A、B兩點，交y軸于點C，頂點為D．
（1）求A、B、C的坐標；
（2）把△ABC繞AB的中點M旋轉180°，得到四邊形AEBC：
①求E點坐標；
②試判斷四邊形AEBC的形狀，并說明理由；
（3）試探索：在直線BC上是否存在一點P，使得△PAD的周長最小？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知二次函數(shù)y=x2-2（k+1）x+4k的圖象與x軸分別交于點A（x1，0）、B（x2，0），且-
3
2
＜x1＜-
1
2
．
（1）求k的取值范圍；
（2）設二次函數(shù)y=x2-2（k+1）x+4k的圖象與y軸交于點M，若OM=OB，求二次函數(shù)的表達式；
（3）在（2）的條件下，若點N是x軸上的一點，以N、A、M為頂點作平行四邊形，該平行四邊形的第四個頂點F在二次函數(shù)y=x2-2（k+1）x+4k的圖象上，請直接寫出滿足上述條件的平行四邊形的面積．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直角坐標平面中，O為坐標原點，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與y軸的負半軸相交于點C，點C的坐標為（0，-3），且BO=CO．
（1）求出B點坐標和這個二次函數(shù)的解析式；
（2）求出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍．

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某果園有100棵橘子樹，平均每一棵樹結600個橘子．根據經驗估計，每多種一顆樹，平均每棵樹就會少結5個橘子．設果園增種x棵橘子樹，果園橘子總個數(shù)為y個，則果園里增種______棵橘子樹，橘子總個數(shù)最多．

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（1）請完成如下操作：以AB所在直線為x軸、線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，根據題中提供的信息，求繩子所在拋物線的函數(shù)關系式；
（2）求繩子的最低點離地面的距離．

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