【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0),與y軸交于C(0,﹣4)點(diǎn),點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)連接PO、PC,并把POC沿CO翻折,得到四邊形POP′C,那么是否存在點(diǎn)P,使四邊形POP′C為菱形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ABPC的面積最大?求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.

【答案】(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為:y=x2﹣3x﹣4;

(2)存在,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,﹣2);

(3)此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為:(2,﹣6),四邊形ABPC的面積的最大值為18.

析】

試題分析:(1)將B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求得待定系數(shù)的值;

(2)由于菱形的對(duì)角線互相垂直平分,若四邊形POP′C為菱形,那么P點(diǎn)必在OC的垂直平分線上,據(jù)此可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo),代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)由于ABC的面積為定值,當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí),BPC的面積最大;過(guò)P作y軸的平行線,交直線BC于Q,交x軸于F,易求得直線BC的解析式,可設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo),然后根據(jù)拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標(biāo),即可得到PQ的長(zhǎng),以PQ為底,B點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為高即可求得BPC的面積,由此可得到關(guān)于四邊形ACPB的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABPC的最大面積及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析:(1)將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得:

解得:;

所以二次函數(shù)的表達(dá)式為:y=x2﹣3x﹣4;

(2)存在點(diǎn)P,使四邊形POP′C為菱形;

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x2﹣3x﹣4),PP′交CO于E

若四邊形POP′C是菱形,則有PC=PO;

如圖1,連接PP′,則PECO于E,

C(0,﹣4),

CO=4,

OE=EC,

OE=EC=2

y=﹣2;

x2﹣3x﹣4=﹣2

解得:x1=,x2=(不合題意,舍去),

P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,﹣2);

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q,與OB交于點(diǎn)F,設(shè)P(x,x2﹣3x﹣4),設(shè)直線BC的解析式為:y=kx+d,

,

解得:,

直線BC的解析式為:y=x﹣4,

則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,x﹣4);

當(dāng)0=x2﹣3x﹣4,

解得:x1=﹣1,x2=4,

AO=1,AB=5,

S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ

=ABOC+QPBF+QPOF

=×5×4+(4﹣x)[x﹣4﹣(x2﹣3x﹣4)]+ x[x﹣4﹣(x2﹣3x﹣4)]

=﹣2x2+8x+10

=﹣2(x﹣2)2+18

當(dāng)x=2時(shí),四邊形ABPC的面積最大,

此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為:(2,﹣6),四邊形ABPC的面積的最大值為18.

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