Question

【題目】定義：如圖1，等腰△ABC中，點(diǎn)E，F分別在腰AB，AC上，連結(jié)EF，若AE＝CF，則稱EF為該等腰三角形的逆等線．

（1）如圖1，EF是等腰△ABC的逆等線，若EF⊥AB，AB＝AC＝5，AE ＝2，求逆等線EF的長；

（2）如圖2，若等腰直角△DEF的直角頂點(diǎn)D恰好為等腰直角△ABC底邊BC上的中點(diǎn)，且點(diǎn)E，F分別在AB，AC上，求證：EF為等腰△ABC的逆等線；

（3）如圖3，等腰△AOB的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，底邊OB在x軸上，反比例函數(shù)y＝ （x＞0）的圖象交△OAB于點(diǎn)C，D，若CD恰為△AOB的逆等線，過點(diǎn)C，D分別作CE⊥x軸，DF⊥x軸，已知OE＝2，求OF的長．

Answer 1

【答案】（1）逆等線EF的長為；

（2）EF為等腰△ABC的逆等線；

（3）OF＝2＋2

【解析】試題分析：(1)、根據(jù)逆等線的定義得出CF=AE=2，AF=3，根據(jù)勾股定理得出EF的長度；(2)、連接AD，根據(jù)題意證明出△EDA和△FDC全等，從而得出AE=CF，得到逆等線；(3)、設(shè)OF=x，作AG⊥OB，CH⊥AG，根據(jù)逆等線的性質(zhì)得出△ACH和△DBF全等，從而得出EG=x-4，根據(jù)△ACH和△COE相似得出x的值，從而得出x的值，即OF的長度.

試題解析：（1）∵EF是等腰△ABC的逆等線

∴CF ＝AE＝2，又AB＝AC＝5 ∴AF＝3 ∵EF⊥AB ∴EF＝＝

（2）連結(jié)AD，在等腰Rt△ABC中，點(diǎn)D為底邊上中點(diǎn) ∴AD＝CD且∠ADC＝90°

又∵DE＝DF且∠EDF＝90° ∴∠EDA＝90°－∠ADF＝∠FDC

∴△EDA≌△FDC ∴AE＝CF ∴EF為等腰△ABC的逆等線

（3）如圖3，設(shè)OF＝x，則DF＝ 作AG⊥OB，CH⊥AG

∵CD為△AOB的逆等線 ∴AC＝BD，又∠ACH＝∠AOB＝∠DBF

且∠AHC＝∠AGO＝∠DFB ∴△ACH≌△DBF 則EG＝CH＝BF，AH＝DF

又AO＝AB，且AG⊥OB ∴OG＝BG ∴GF＝BG－BF＝OG－EG＝OE

所以EG＝x－2－2＝x－4 ∵△ACH∽△COE ∴＝ 即＝

化簡得x2－4x－4＝0 所以x＝2＋2 即OF＝2＋2