【題目】如圖,四邊形ABCD內接于⊙O,BD是⊙O的直徑,AE⊥CD交CD的延長線于點E,DA平分∠BDE.
⑴求證:AE是⊙O的切線;
⑵若AE=4cm,CD=6cm,求AD的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)AD=2.
【解析】
(1)根據等邊對等角得出∠ODA=∠OAD,進而得出∠OAD=∠EDA,證得EC∥OA,從而證得AE⊥OA,即可證得AE是⊙O的切線;
(2)過點O作OF⊥CD,垂足為點F.從而證得四邊形AOFE是矩形,得出OF=AE=4cm,根據垂徑定理得出DF=CD=3cm,在Rt△ODF中,根據勾股定理即可求得⊙O的半徑,得出ED,根據勾股定理即可求得AD.
(1)證明:連結OA.
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD.
∵DA平分∠BDE,∴∠ODA=∠EDA.
∴∠OAD=∠EDA,∴EC∥OA.
∵AE⊥CD,∴OA⊥AE.
∵點A在⊙O上,∴AE是⊙O的切線.
(2)過點O作OF⊥CD,垂足為點F.
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°
∴四邊形AOFE是矩形.
∴OF=AE=4cm.EF=OA,
又∵OF⊥CD,
∴DF=CD=3cm.
在Rt△ODF中,OD= =5cm,
即⊙O的半徑為5cm,
∴EF=OA=5cm,
∴ED=EF-DF=5-3=2cm,
在Rt△AED中,AD= =2.
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【題目】二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,其對稱軸為x=1,下列結論中錯誤的是( 。
A.abc<0B.2a+b=0C.b2﹣4ac>0D.a﹣b+c>0
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【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,C兩點,與y軸交于B點,拋物線的頂點為點D,已知點A的坐標為(﹣1,0),點B的坐標為(0,﹣3).
(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標.
(2)求△ACD的面積.
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【題目】有四張相同的卡片,分別寫有數字2,0,1,5,將它們背面朝上(背面無差別)洗勻后放在桌上.
(1)從中任意抽出一張,抽到卡片上的數字為負數的概率;
(2)從中任意抽出兩張,用樹狀圖或表格列出所有可能的結果,并求抽出卡片上的數字積為正數的概率.
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【題目】美麗的黃河宛如一條玉帶穿城而過,沿河兩岸的濱河路風情線是蘭州最美的景觀之一.數學課外實踐活動中,小林在南濱河路上的A,B兩點處,利用測角儀分別對北岸的一觀景亭D進行了測量.如圖,測得∠DAC=45°,∠DBC=65°.若AB=132米,求觀景亭D到南濱河路AC的距離(結果精確到1米,參考數據:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14).
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于點D,DE⊥AB于點E,則下列結論:①AD平分∠CDE;②∠BAC=∠BDE;③DE平分∠ADB;④若AC=4BE,則S△ABC=8S△BDE其中正確的有( )
A. 1個
B. 2個
C. 3個
D. 4個
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【題目】在一個不透明的盒子里,裝有三個分別寫有數字6,-2,7的小球,它們的形狀、大小、質地等完全相同,先從盒子里隨機取出一個小球,記下數字后放回盒子,搖勻后再隨機取出一個小球,記下數字.請你用畫樹狀圖的方法,求下列事件的概率:
(1)兩次取出小球上的數字相同;
(2)兩次取出小球上的數字之和大于10.
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