Question

已知線段AB=12，CD=6，線段CD在直線AB上運(yùn)動(dòng)（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)）．
（1）當(dāng)BC=4，點(diǎn)M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)時(shí)，求MN的長．
（2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)P在線段AB延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，問

PA+PB

PC

的值是否改變？若不變，求出其值；若改變，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：兩點(diǎn)間的距離

專題：

分析：（1）需要分兩種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)C在線段AB上和點(diǎn)C在線段AB的延長線上，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)和線段間的和差關(guān)系進(jìn)行解答；
（2）根據(jù)題意作出圖形，設(shè)BP=x，則AP=12+x，PC=6+x，將相關(guān)線段的長度代入

PA+PB

PC

可得到

PA+PB

PC

的值是2，不再改變．

解答：解：（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，MN=MC+BC+BN=

1

2

AC+BC+

1

2

BD
=

1

2

（AB-BC）+BC+

1

2

（CD-BC）
=

1

2

×（12-4）+4+

1

2

×（6-4）
=9；
如圖②，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB延長線上時(shí)，MN=MB+BC+CN=AB-AM+BC+CD-ND
=AB+BC+CD-AM-ND
=12+4+6-

1

2

×（12+4）-

1

2

×（6+4）
=9．
∵BC=4＜AB，
∴點(diǎn)C不能在線段AB延長線上，此種情況不存在．

（2）

PA+PB

PC

的值不變．理由如下：
如圖③，設(shè)BP=x，則AP=12+x，PC=6+x，
∵

PA+PB

PC

=

12+x+x

6+x

=2，
∴

PA+PB

PC

的值不變．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩點(diǎn)間的距離．在未畫圖類問題中，正確畫圖很重要．本題滲透了分類討論的思想，體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性，在今后解決類似的問題時(shí)，要防止漏解．