Question

如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，P是弧AF上任一點，求

PA+PC

PB

的值．

Answer 1

考點：圓的綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),正多邊形和圓,銳角三角函數(shù)的定義

專題：綜合題

分析：過點B作BG⊥AP于G，點B作BH⊥PC于H，如圖，易證△BGP≌△BHP，則有PG=PH，BG=BH，進而可證到Rt△AGB≌Rt△CHB（HL），則有AG=CH，從而可得到PA+PC=2PH，然后在Rt△BHP中運用三角函數(shù)就可解決問題．

解答：解：過點B作BG⊥AP于G，點B作BH⊥PC于H，如圖，
則有∠G=∠BHP=90°．
∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，
∴∠APB=∠BPC=30°，AB=BC．
在△BGP和△BHP中，

∠GPB=∠HPB ∠G=∠BHP BP=BP

，
∴△BGP≌△BHP（AAS），
∴PG=PH，BG=BH．
在Rt△AGB和Rt△CHB中，

AB=BC BG=BH

，
∴Rt△AGB≌Rt△CHB（HL），
∴AG=CH．
∴PA+PC=PA+PH+CH=PA+PH+AG=PG+PH=2PH．
在Rt△BHP中，
∵cos∠BPH=cos30°=

PH

PB

=

3

2

，
∴

2PH

PB

=

3

，
∴

PA+PC

PB

=

2PH

PB

=

3

．
∴

PA+PC

PB

的值為

3

．

點評：本題主要考查了正多邊形和圓、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，事實上由本題可探究出更一般的結(jié)論：度數(shù)為α的圓周角與圓相交所得的兩條弦的和等于此角平分線與圓相交所得的弦的2cos

α

2

倍．