Question

如圖，△ABD，△AEC都是等邊三角形，
（1）如圖①，求證：BE=DC；
（2）如圖②，若H，G分別為DC，BE的中點(diǎn)，連接AG、HG，試探究∠AGH的大��；
（3）如圖③，設(shè)BE，DC交于點(diǎn)P，求式子

PB+PC+2PA

PD+PE

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證AB=AD，AC=AE，∠CAD=∠EAB，即可證明△CAD≌△EAB，可得BE=DC；
（2）連接AH，易證∠AEB=∠ACD，CH=EG，即可證明△AEG≌△ACH，可得AG=AH，∠EAG=∠CAH，即可求得∠GAH=∠EAC=60°，即可判定△AGH為等邊三角形，即可解題；
（3）在DC上截取DG=BP，連接AG，易證△CAD≌△EAB，可得∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，即可證明△ADG≌△ABP，可得∠DAG=∠BAP，AG=AP，即可求得PA=PG，即可證明△CAG≌△EAP，可得CG=PE，即可解題．

解答：證明：（1）∵△ABD，△AEC都是等邊三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，
在△CAD和△EAB中，

AB=AD ∠CAD=∠EAB AC=AE

，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=DC；
（2）連接AH，

∵△CAD≌△EAB，
∴BE=DC，∠AEB=∠ACD，
∵H，G分別為DC，BE的中點(diǎn)，
∴CH=EG，
在△AEG和△ACH中，

AE=AC ∠AEB=∠ACD CH=EG

，
∴△AEG≌△ACH（SAS），
∴AG=AH，∠EAG=∠CAH，
∵∠EAG=∠EAC+∠CAG，∠CAH=∠CAG+∠GAH，
∴∠GAH=∠EAC=60°，
∴△AGH為等邊三角形，
∴∠AGH=60°；
（3）在DC上截取DG=BP，連接AG，

∵△ABD、△AEC等邊三角形，
∴∠BAD=∠CAE=60°，AC=AE，AD=AB，
∴∠BAD+∠BAC=∠BAC+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，
在△CAD和△EAB中，

AE=AC ∠BAE=∠CAD AD=AB

，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，
在△ADG和△ABP中，

AD=AB ∠ADC=∠ABE DG=BP

，
∴△ADG≌△ABP（SAS），
∴∠DAG=∠BAP，AG=AP，
∵∠DAG+∠BAG=60°，
∴∠BAG+∠BAP=60°，即∠PAG=60°，
∴△PAG為等邊三角形，∠PAG+∠CAP=∠CAP+∠CAE，即∠CAG=∠EAP，
∴PA=PG，
在△CAG和△EAP中，

AG=AP ∠CAG=∠EAP AC=AE

，
∴△CAG≌△EAP（SAS），
∴CG=PE，
∴PD+PE=DG+PG+PC+PG=PB+PC+2PA，
∴

PB+PC+2PA

PD+PE

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△CAD≌△EAB、△ADG≌△ABP和△CAG≌△EAP是解題的關(guān)鍵．