Question

已知：如圖，二次函數(shù)y=-mx²+4m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），矩形ABCD的頂點(diǎn)B、C在x軸上，矩形ABCD在拋物線與x軸所圍成的圖形內(nèi)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y）（x＞0，y＞0），試求矩形ABCD的周長P關(guān)于自變量x的函數(shù)表達(dá)式，并求出自變量x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：壓軸題

分析：（1）由y=-mx²+4m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4m），結(jié)合已知即可求出m的值，從而確定二次函數(shù)解析式；
（2）設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由點(diǎn)A在拋物線上，表示出矩形ABCD的周長，即為矩形ABCD的周長P關(guān)于自變量x的函數(shù)表達(dá)式．

解答：解：（1）∵y=-mx²+4m
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4m）．
∴4m=2，即m=

1

2

．
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-

1

2

x2+2．

（2）∵點(diǎn)A在拋物線上，
∴A(x，-

1

2

x2+2)．
∴矩形ABCD的周長P=2（-

1

2

x2+2）+4x．
令y=0，則-

1

2

x2+2=0，
∴x=±2．
∴拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)是（-2，0），（2，0）．
∴關(guān)于x的函數(shù)P的自變量的取值范圍0＜x＜2．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)與矩形的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是要熟練二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)解析式的表達(dá)形式．