Question

【題目】如圖，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，的外接圓與邊交于點(diǎn)，，

（1）①補(bǔ)全圖形；②判斷直線與的外接圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給出證明．

（2）若，，求線段的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】(1)①見(jiàn)解析;②1個(gè),證明見(jiàn)解析;(2)3

【解析】

(1)①△ADC是直角三角形,則斜邊AC的中點(diǎn)即為外接圓的圓心;

②利用等腰三角形ABC和等腰三角形ODC角度的關(guān)系,推導(dǎo)出∠ODE=90°,證OD與圓相切;

(2)如下圖,連接CF,則DE是△BCF的中位線,在Rt△AFC中,利用三角函數(shù)關(guān)系表示出AF、FC、AC之間的長(zhǎng)度關(guān)系，結(jié)合BE的長(zhǎng)度可求得

(1)①圖像如下,取AC的中點(diǎn)O,以OA為半徑作圓,圓AB交于點(diǎn)F

②如下圖，連接OD

∵△ADC是直角三角形，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)

∴OA=OD=OC

∴∠ODC=∠OCD

∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB=∠ODC

∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠EBD+∠EDB=90°

∴∠EDB+∠ODC=90°，∴∠EDO=90°

∴ED與圓O相切，所以有1個(gè)交點(diǎn)

(3)如下圖，連接CF

∵AC是圓O的直徑，∴∠AFC=90°

又∵∠DEB=90°，∴DE∥CF

∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC

∴DE是△BCF的中位線

∵BE=1，∴EF=1

∵cos∠BAC=

∴在Rt△ACF中，設(shè)AF=3x，則AC=5x，

∴AB=5x，∴BF=2x=2，∴x=1

∴AF=3