【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為B(4,0),另一個交點為A,且與y軸交于點C(0,4).

(1)求直線BC與拋物線的解析式;

(2)若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點,過點M作MN∥y軸交直線BC于點N,當 MN的值最大時,求△BMN的周長.

(3)在(2)的條件下,MN取得最大值時,若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點,以BC為邊作平行四邊形CBPQ,設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1,△ABN的面積為S2,且S1=4S2,求點P的坐標.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2﹣5x+4;(2)4+4;(3)點P的坐標為P(3,﹣2).

【解析】試題(1)利用待定系數(shù)法及直線BC上的兩點列方程,從而得出一次函數(shù)的解析式;根據(jù)二次函數(shù)上面的兩點坐標列出兩個方程,從而確定二次函數(shù)的一次項系數(shù)和常數(shù)項;

(2)根據(jù)M,N的位置關(guān)系,易得他們的橫坐標相同,設(shè)出對應(yīng)的坐標,M(x,x2﹣5x+4)(1<x<4),則N(x,﹣x+4),根據(jù)兩點坐標表示出MN的長度為MN=(﹣x+4)﹣(x2﹣5x+4)=﹣x2+4x,然后配方,求出MN的最大值;從而△BMN的周長得解;

(3)先求出△ABN的面積為S2,=3,再根據(jù)S1=4S2S1=12.根據(jù)平行四邊形的底邊AB=,得出平行四邊形的高線BD=,再求x粥上面的BE的長度為3,得點E與點A重合,則過點A平行于BC的直線PQ為y=﹣x+1,最后與二次函數(shù)聯(lián)立方程組,得出點P的坐標.

試題解析

(1)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,

將B(4,0),C(0,4)兩點的坐標代入,

得, ,

所以直線BC的解析式為y=﹣x+4;

將B(4,0),C(0,4)兩點的坐標代入y=x2+bx+c,

得,

所以拋物線的解析式為y=x2﹣5x+4;

(2)如圖1,

設(shè)M(x,x2﹣5x+4)(1<x<4),則N(x,﹣x+4),

∵MN=(﹣x+4)﹣(x2﹣5x+4)=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,

∴當x=2時,MN有最大值4;

∵MN取得最大值時,x=2,

∴﹣x+4=﹣2+4=2,即N(2,2).

x2﹣5x+4=4﹣5×2+4=﹣2,即M(2,﹣2),

∵B(4.0)

可得BN=2,BM=2

∴△BMN的周長=4+2+2=4+4

(3)令y=0,解方程x2﹣5x+4=0,得x=1或4,

∴A(1,0),B(4,0),

∴AB=4﹣1=3,

∴△ABN的面積S2=×3×2=3,

∴平行四邊形CBPQ的面積S1=4S2=12.

如圖2,

設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD,則BC⊥BD.

∵BC=4 ,

∴BCBD=12,

∴BD=

過點D作直線BC的平行線,交拋物線與點P,交x軸于點E,在直線DE上截取PQ=BC,連接CQ,則四邊形CBPQ為平行四邊形.

∵BC⊥BD,∠OBC=45°,

∴∠EBD=45°,

∴△EBD為等腰直角三角形,由勾股定理可得BE=BD=3,

∵B(4,0),

∴E(1,0),

設(shè)直線PQ的解析式為y=﹣x+t,

將E(1,0)代入,得﹣1+t=0,解得t=1

∴直線PQ的解析式為y=﹣x+1.

解方程組,

得,

∵P1(1,0)在x軸上,舍去.

∴點P的坐標為P(3,﹣2).

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知中,,分別平分,、交于點.

1)直接寫出的數(shù)量關(guān)系;

2)若,利用(1)的關(guān)系,求出的度數(shù);

3)利用(2)的結(jié)果,試判斷、的數(shù)量關(guān)系,并證明.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,O是等邊內(nèi)一點繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn),連接已知

求證:是等邊三角形;

,試判斷的形狀,并說明理由;

探究:當為多少度時,是等腰三角形.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在RtABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,DBC上一動點,連接AD,將ACD沿AD折疊,點C落在點C'處,連接C'DAB于點E,連接BC',當BC'D是直角三角形時,DE的長為_________.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某校為學生裝一臺直飲水器,課間學生到直飲水器打水.他們先同時打開全部的水籠頭放水,后來又關(guān)閉了部分水籠頭.假設(shè)前后兩人接水間隔時間忽略不計,且不發(fā)生潑灑,直飲水器的余水量(升)與接水時間(分)的函數(shù)圖象如圖,請結(jié)合圖象回答下列問題:

1)求當時,之間的函數(shù)關(guān)系式;

2)假定每人水杯接水0.7升,要使40名學生接水完畢,課間10分鐘是否夠用?請計算回答.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】計算

我區(qū)在一項工程招標時,接到甲、乙兩個工程隊的投標書,從投標書中得知:每施工一天,甲工程隊要萬元,乙工程隊要萬元,工程小組根據(jù)甲、乙兩隊標書的測算,有三種方案:甲隊單獨完成這個工程,剛好如期完成;乙隊單獨完成這個工程要比規(guī)定時間多用5天;**********,剩下的工程由乙隊單獨做,也正好如期完成. 方案星號部分被損毀了. 已知,一個同學設(shè)規(guī)定的工期為天,根據(jù)題意列出方程:

1)請將方案中星號部分補充出來________________;

2)你認為哪個方案節(jié)省工程款,請說明你的理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=1,拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),且AB=4,又P是拋物線上位于第一象限的點,直線APy軸交于點D,與對稱軸交于點E,設(shè)點P的橫坐標為t.

(1)求點A的坐標和拋物線的表達式;

(2)當AE:EP=1:2時,求點E的坐標;

(3)記拋物線的頂點為M,與y軸的交點為C,當四邊形CDEM是等腰梯形時,求t的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】一個不透明的口袋里裝有分別標有漢字”、“”、“”、“的四個小球,除漢字不同之外,小球沒有任何區(qū)別,每次摸球前先攪拌均勻.

(1)若從中任取一個球,球上的漢字剛好是的概率為__________.

(2)從中任取一球,不放回,再從中任取一球,請用樹狀圖或列表的方法,求取出的兩個球上的漢字能組成歷城的概率.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖1,△ABC是等邊三角形,D是邊BC上的任意一點,∠ADF=60°,且DF交∠ACE的角平分線于點F.

1)求證:AC=CDCF

2)如圖2,當點DBC的延長上時,猜想AC、CD、CF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案