Question

如圖，拋物線解析式是y=-x²+bx（b＞0），是否以原點O為對稱中心的矩形ABCD？若存在，求出過O、C、D三點的拋物線的表達式；若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：代數幾何綜合題,數形結合,待定系數法

分析：由于矩形的對角線相等且互相平分，所以若存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD，那么必須滿足OA=OB，又AO=BO，這個“拋物線三角形”必須是等邊三角形，首先用b表示出AE、OE的長，通過△OAB這個等邊三角形來列等量關系求出b′的值，進而確定A、B的坐標，即可確定C、D的坐標，利用待定系數即可求出過O、C、D的拋物線的解析式．

解答：解：存在
如圖，
作△OCD與△OAB關于原點O中心對稱，則四邊形ABCD為平行四邊形．
當OA=OB時，平行四邊形ABCD是矩形，
又∵AO=AB，AO=BO，
∴△OAB為等邊三角形．
∴∠AOB=60°，
作AE⊥OB，垂足為E，
∴AE=OEtan∠AOB=

3

OE．
∴

b2

4

=

3

•

b

2

（b＞0）．
∴b=2

3

．
∴A（

3

，3），B（2

3

，0）．
∴C（-

3

，-3），D（-2

3

，0）．
設過點O、C、D的拋物線為y=mx²+nx，則

12m- 2 3 n=0 3m- 3 n=-3

，
解得

m=1 n=2 3

．
故所求拋物線的表達式為y=x²+2

3

x．

點評：此題考查二次函數的性質及解析式的確定、等腰三角形的判定和性質、矩形的判定和性質等知識，重在考查基礎知識的掌握情況．