Question

【題目】已知拋物線y＝﹣﹣15有最高點（0，1），過點C（0，2）的直線l平行于x軸，O為坐標原點．

（1）求m的值；

（2）求證：該拋物線上的任意一點到原點O的距離都等于這個點到直線l的距離；

（3）若點P，Q是拋物線上的任意兩點，且PQ＝9，點G是線段PQ的中點，求點G到直線l距離的最小值．

Answer 1

【答案】（1）m＝4；（2）見解析；（3）4.5

【解析】

（1）由拋物線的頂點坐標為（0，1），可得m的值；

（2）設(shè)拋物線上的任意一點M（），則OM＝，過點M作MN⊥l于N，可得MN＝＝OM，則結(jié)論得證；

（3）過點Q作QA⊥l于A，過點P作PB⊥l于B交l′于D，取DQ中點E，連接GE并延長交l于F，可得GF＝（AQ+BP），則GF＝（OQ+OP），當點O，P，Q在同一直線上時，OQ+OP最小，求出點G到直線l距離的最小值為4.5．

（1）∵拋物線的最高點為（0，1），

∴，

解得：m＝4；

（2）由（1）得拋物線的解析式為，

設(shè)拋物線上的任意一點M（），

則OM＝

＝

＝

＝，

過點M作MN⊥l于N，則MN＝＝OM，

∴拋物線上的任意一點到原點O的距離都等于這個點到直線l的距離；

（3）將直線l向下平移，使其經(jīng)過點Q，設(shè)平移后的直線為l′，

如圖，過點Q作QA⊥l于A，過點P作PB⊥l于B交l′于D，取DQ中點E，連接GE并延長交l于F，

∵EG是△QDP的中位線，

∴GE∥DP，且EG＝，

∴GE⊥l′，

易證：EF＝AQ＝BD，

∴GF＝EF+EG＝（AQ+BD+DP），

＝（AQ+BP），

由（2）得：AQ＝OQ，BP＝OP

∴GF＝（OQ+OP），

∵當點O，P，Q在同一直線上時，OQ+OP最小，且最小值等于PQ＝9，

∴，

∴點G到直線l距離的最小值為4.5．