Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）．

（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）直線CD交x軸于點(diǎn)E，過(guò)拋物線上在對(duì)稱軸的右邊的點(diǎn)P，作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)F，交直線CD于M，使PM=EF，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）將拋物線沿對(duì)稱軸平移，要使拋物線與（2）中的線段EM總有交點(diǎn)，那么拋物線向上最多平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度，向下最多平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度．

 

 

Answer 1

（1）拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣8，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣9）；

（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣8）；

（3）要使拋物線與（2）中的線段EM總有交點(diǎn)，拋物線向上最多平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向下最多平移72個(gè)單位長(zhǎng)度．

【解析】

試題分析：（1）由于拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)已知，拋物線的解析式可設(shè)成交點(diǎn)式：y=a（x+2）（x﹣4），然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入就可求出拋物線的解析式，再將該解析式配成頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)．

（2）先求出直線CD的解析式，再求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），從而可以用m的代數(shù)式表示出PM、EF，然后根據(jù)PM=EF建立方程，就可求出m，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣8+c，然后只需考慮三個(gè)臨界位置（①向上平移到與直線EM相切的位置，②向下平移到經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的位置，③向下平移到經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的位置）所對(duì)應(yīng)的c的值，就可以解決問(wèn)題．

試題解析：（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣4）．

∵點(diǎn)C（0，﹣8）在拋物線y=a（x+2）（x﹣4）上，

∴﹣8a=﹣8．

∴a=1．

∴y=（x+2）（x﹣4）=x2﹣2x﹣8=（x﹣1）2﹣9．

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣8，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣9）；

（2）如圖，

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+ B．

∴

解得： ．

∴直線CD的解析式為y=﹣x﹣8．

當(dāng)y=0時(shí)，﹣x﹣8=0，

則有x=﹣8．

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣8，0）．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），

則PM=（m2﹣2m﹣8）﹣（﹣m﹣8）=m2﹣m，EF=m﹣（﹣8）=m+8．

∵PM=EF，

∴m2﹣m=（m+8）．

整理得：5m2﹣6m﹣8=0．

∴（5m+4）（m﹣2）=0

解得：m1=﹣，m2=2．

∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸x=1的右邊，

∴m=2．

此時(shí)，n=22﹣2×2﹣8=﹣8．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣8）；

（3）當(dāng)m=2時(shí)，y=﹣2﹣8=﹣10．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣10）．

設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣8+c，

①若拋物線y=x2﹣2x﹣8+c與直線y=﹣x﹣8相切，

則方程x2﹣2x﹣8+c=﹣x﹣8即x2﹣x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．

∴（﹣1）2﹣4×1×c=0．

∴c=．

②若拋物線y=x2﹣2x﹣8+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，

則有22﹣2×2﹣8+c=﹣10．

∴c=﹣2．

③若拋物線y=x2﹣2x﹣8+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，

則有（﹣8）2﹣2×（﹣8）﹣8+c=0．

∴c=﹣72．

綜上所述：要使拋物線與（2）中的線段EM總有交點(diǎn)，拋物線向上最多平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向下最多平移72個(gè)單位長(zhǎng)度．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．