Question

已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一根為2．
（1）求q關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求證：拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（3）設(shè)拋物線y=x²+px+q+1與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A、B不重合），且以AB為直徑的圓正好經(jīng)過該拋物線的頂點(diǎn)，求p，q的值．

Answer 1

分析：（1）把x=2直接代入一元二次方程x²+px+q+1=0中即可得到q關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用（1）的結(jié)論證明拋物線y=x²+px+q的判別式是正數(shù)就可以了；
（3）首先求出方程x²+px+q+1=0的兩根，然后用p表示AB的長(zhǎng)度，表示拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用以AB為直徑的圓正好經(jīng)過該拋物線的頂點(diǎn)可以得到關(guān)于p的方程，解方程即可求出p．

解答：解：（1）由題意得2²+2p+q+1=0，即q=-2p-5；

證明：（2）∵一元二次方程x²+px+q=0的判別式△=p²-4q，
由（1）得△=p²+4（2p+5）=p²+8p+20=（p+4）²+4＞0，
∴一元二次方程x²+px+q=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
∴拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

解：（3）由題意，x²+px-2p-4=0，
解此方程得x₁=2，x₂=-p-2 （p≠-4），
∴AB=p+4（p＞-4）或AB=-P-4（P＜-4），
∵y=x²+px-2p-4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-

p

2

，-

(p+4)2

4

)．
以AB為直徑的圓經(jīng)過頂點(diǎn)，

(p+4)2

4

=

p+4

2

或

(p+4)2

4

=-

p+4

2

．
解得p=-2或p=-6，
∴

p=-2 q=-1

或

p=-6 q=7

．

點(diǎn)評(píng)：此題比較難，綜合性比較強(qiáng)，主要利用了拋物線與x軸交點(diǎn)情況與判別式的關(guān)系解決問題，也利用了圓的知識(shí)來(lái)確定待定系數(shù)．