Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（m，n）在第一象限內(nèi)，AB⊥OA且AB=OA，反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．
（1）當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）時(shí)（如圖1），求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)B也在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，且在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)（如圖2），用m、n的代數(shù)式表示點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）在第（2）小題的條件下，求

m

n

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）過A作AC⊥OB，根據(jù)三角形AOB為等腰直角三角形，得到AC=OC=BC=

1

2

OB，確定出A坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（2）過A作AE⊥x軸，過B作BD⊥AE，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AO=AB，利用AAS得出三角形AOE與三角形ABD全等，由確定三角形的對應(yīng)邊相等得到BD=AE=n，AD=OE=m，進(jìn)而表示出ED及OE+BD的長，即可表示出B坐標(biāo)；
（3）由A與B都在反比例圖象上，得到A與B橫縱坐標(biāo)乘積相等，列出關(guān)系式，變形后即可求出

m

n

的值．

解答：解：（1）過A作AC⊥OB，交x軸于點(diǎn)C，
∵OA=AB，∠OAB=90°，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴AC=OC=BC=

1

2

OB=3，
∴A（3，3），
將x=3，y=3代入反比例解析式得：3=

k

3

，即k=9，
則反比例解析式為y=

9

x

；

（2）過A作AE⊥x軸，過B作BD⊥AE，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAE+∠BAD=90°，
∵∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠BAD=∠AOE，
在△AOE和△BAD中，

∠AOE=∠BAD ∠AEO=∠BDA=90° AO=BA

，
∴△AOE≌△BAD（AAS），
∴AE=BD=n，OE=AD=m，
∴DE=AE-AD=n-m，OE+BD=m+n，
則B（m+n，n-m）；

（3）由A與B都在反比例圖象上，得到mn=（m+n）（n-m），
整理得：n²-m²=mn，即（

m

n

）²+

m

n

-1=0，
這里a=1，b=1，c=-1，
∵△=1+4=5，
∴

m

n

=

-1± 5

2

，
∵A（m，n）在第一象限，
∴m＞0，n＞0，
則

m

n

=

5 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及一元二次方程的解法，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．