【題目】如圖,在中,,,點在線段上運動(不與、重合),連接,作,交線段于.
(1)當(dāng)時,______________;點從向運動時,逐漸變____________(填“大”或“小”);
(2)當(dāng)時,求證:,請說明理由;
(3)在點的運動過程中,的形狀也在改變,判斷當(dāng)等于多少度時,是等腰三角形.
【答案】(1)25°;小;(2)見解析;(3)當(dāng)∠BDA的度數(shù)為80°或110°時,△ADE是等腰三角形.
【解析】
(1)利用三角形內(nèi)角和定理,即可求出;然后根據(jù)∠BAD的變化情況,即可判斷的變化情況;
(2)利用∠DEC+∠EDC=140°,∠ADB+∠EDC=140°,求出∠ADB=∠DEC,再利用AAS即可得出△ABD≌△DCE;
(3)根據(jù)等腰三角形的腰的情況分類討論,再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角即可分別求出∠BDA.
解:∵在△BAD中,∠B=40°,∠BDA=115°,
∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠BDA=25°;
∠BAD+∠BDA=180°﹣∠B=140°
由圖可知:點從向運動時,∠BAD逐漸變大,則逐漸變。
故答案為:25°;。
(2)∵∠B=∠C=40°,
∴∠DEC+∠EDC=180°﹣∠C=140°,
又∵∠ADE=40°,
∴∠ADB+∠EDC=180°﹣∠ADE =140°,
∴∠ADB=∠DEC,
∵,
∴
在△ABD和△DCE中,
∴△ABD≌△DCE(AAS).
(3)當(dāng)△ADE是等腰三角形時,∠BDA的度數(shù)為80°或110°,
①當(dāng)ED=EA時,
∴∠DAE=∠EDA=40°,
∴∠BDA=∠C+DAE=80°;
②當(dāng)DA=DE時,
∴∠DAE=∠DEA=(180°﹣∠ADE)=70°,
∴∠BDA=∠C+DAE=110°,
③當(dāng)AD=AE時,
∠ADE=∠AED=40°
∵∠C=40°
∠AED是△EDC的外角
∴∠AED>∠C,與∠AED=40°矛盾
所以此時不成立;
綜上所述:當(dāng)∠BDA的度數(shù)為80°或110°時,△ADE是等腰三角形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某莊有甲、乙兩家草莓采摘園的草莓銷售價格相同,春節(jié)期間,兩家采摘園將推出優(yōu)惠方案,甲園的優(yōu)惠方案是:游客進(jìn)園需購買門票,采摘的草莓六折優(yōu)惠;乙園的優(yōu)惠方案是:游客進(jìn)園不需購買門票,采摘的草莓超過一定數(shù)量后,超過部分打折優(yōu)惠.優(yōu)惠期間,某游客的草莓采摘量為(千克),在甲園所需總費用為(元),在乙園所需總費用為(元),、與之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)甲采摘園的門票是_____元,兩個采摘園優(yōu)惠前的草莓單價是每千克____元;
(2)當(dāng)時,求與的函數(shù)表達(dá)式;
(3)游客在“春節(jié)期間”采摘多少千克草莓時,甲、乙兩家采摘園的總費用相同.
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【題目】在矩形AOBC中,OB=6,OA=4,分別以OB,OA所在直線為x軸和y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,F是BC上的一個動點(不與B、C重合),過F點的反比例函數(shù)(k>0)的圖象與AC邊交于點E,連接OE,OF,EF.
(1)若tan∠BOF=,求F點的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點F在BC上移動時,△OEF與△ECF的面積差記為S,求當(dāng)k為何值時,S有最大值,最大值是多少?
(3)是否存在這樣的點F,使得△OEF為直角三角形?若存在,求出此時點F坐標(biāo);若不存在,請說明理由。
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【題目】在一次實驗中,馬達(dá)同學(xué)把一根彈簧的上端固定,在其下端懸掛物體質(zhì)量的一組對應(yīng)值.
所掛物體質(zhì)量 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
彈簧長度 | 18 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 |
(1)上表反應(yīng)了哪兩個變量之間的關(guān)系,并指出誰是自變量,誰是因變量.
(2)當(dāng)懸掛物體的重量為3千克時,彈簧長 ;不掛重物時彈簧長 .
(3)彈簧長度所掛物體質(zhì)量之間的關(guān)系可以用式子表示為: .
(4)求掛物體時彈簧長度及彈簧長時所掛物體的重量.
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【題目】已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,AC是⊙O的直徑,DE⊥AB,垂足為E.
(1)延長DE交⊙O于點F,延長DC,F(xiàn)B交于點P,如圖1.求證:PC=PB;
(2)過點B作BG⊥AD,垂足為G,BG交DE于點H,且點O和點A都在DE的左側(cè),如圖2.若AB= ,DH=1,∠OHD=80°,求∠BDE的大小.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,CA=CB, AG平分∠BAC交BC于H,BG⊥AG,垂足為G.若AH=8,則BG的長為( )
A.3B.5C.8D.4
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【題目】結(jié)果如此巧合!
下面是小穎對一道題目的解答.
題目:如圖,Rt△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點D,AD=3,BD=4,求△ABC的面積.
解:設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點E、F,CE的長為x.
根據(jù)切線長定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.
根據(jù)勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.
整理,得x2+7x=12.
所以S△ABC=ACBC
=(x+3)(x+4)
=(x2+7x+12)
=×(12+12)
=12.
小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3×4,即△ABC的面積等于AD與BD的積.這僅僅是巧合嗎?
請你幫她完成下面的探索.
已知:△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點D,AD=m,BD=n.
可以一般化嗎?
(1)若∠C=90°,求證:△ABC的面積等于mn.
倒過來思考呢?
(2)若ACBC=2mn,求證∠C=90°.
改變一下條件……
(3)若∠C=60°,用m、n表示△ABC的面積.
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【題目】聯(lián)想我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的三角形外心的概念,我們可引入準(zhǔn)外心的定義:到三角形的兩個頂點距離相等的點,叫做此三角形的準(zhǔn)外心.請回答下面的三個問題:
(1)如圖1,若PB=PC,則點P為△ABC的準(zhǔn)外心,而且我們知道滿足此條件的準(zhǔn)外心有無數(shù)多個,你能否用尺規(guī)作出另外一個準(zhǔn)外心Q呢?請嘗試完成;
(2)如圖2,已知△ABC為直角三角形,斜邊BC=5,AB=3,準(zhǔn)外心P在AC邊上,試探究PA的長;
(3)如圖3,點B既是△EDC又是△ADC的準(zhǔn)外心,BD=BA=BC=2AD,BD∥AC,CD=,求AD的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AC⊥BC,AC=BC,點D是AB中點,過C、D的⊙O交AC、BC分別于E、F.若⊙O的半徑為,AC=2+2 ,則△CEF的面積為( 。
A. B. 2 C. 2+ D. 2
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