【題目】結果如此巧合!
下面是小穎對一道題目的解答.
題目:如圖,Rt△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點D,AD=3,BD=4,求△ABC的面積.
解:設△ABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點E、F,CE的長為x.
根據(jù)切線長定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.
根據(jù)勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.
整理,得x2+7x=12.
所以S△ABC=ACBC
=(x+3)(x+4)
=(x2+7x+12)
=×(12+12)
=12.
小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3×4,即△ABC的面積等于AD與BD的積.這僅僅是巧合嗎?
請你幫她完成下面的探索.
已知:△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點D,AD=m,BD=n.
可以一般化嗎?
(1)若∠C=90°,求證:△ABC的面積等于mn.
倒過來思考呢?
(2)若ACBC=2mn,求證∠C=90°.
改變一下條件……
(3)若∠C=60°,用m、n表示△ABC的面積.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)S△ABC=mn;
【解析】
(1)設△ABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點E、F,CE的長為x,仿照例題利用勾股定理得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,再根據(jù)S△ABC=AC×BC,即可證明S△ABC=mn.(2)由ACBC=2mn,得x2+(m+n)x=mn,因此AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=AB2,利用勾股定理逆定理可得∠C=90°.(3)過點A作AG⊥BC于點G,在Rt△ACG中,根據(jù)條件求出AG、CG,又根據(jù)BG=BC-CG得到BG .在Rt△ABG中,根據(jù)勾股定理可得x2+(m+n)x=3mn,由此S△ABC=BCAG=mn.
設△ABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點E、F,CE的長為x,
根據(jù)切線長定理,得:AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x,
(1)如圖1,
在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理,得:(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,
整理,得:x2+(m+n)x=mn,
所以S△ABC=ACBC
=(x+m)(x+n)
= [x2+(m+n)x+mn]
=(mn+mn)
=mn;
(2)由ACBC=2mn,得:(x+m)(x+n)=2mn,
整理,得:x2+(m+n)x=mn,
∴AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2
=2[x2+(m+n)x]+m2+n2
=2mn+m2+n2
=(m+n)2
=AB2,
根據(jù)勾股定理逆定理可得∠C=90°;
(3)如圖2,過點A作AG⊥BC于點G,
∴BG=BC﹣CG=(x+n)﹣(x+m),
在Rt△ABG中,根據(jù)勾股定理可得:[(x+m)]2+[(x+n)﹣(x+m)]2=(m+n)2,
整理,得:x2+(m+n)x=3mn,
∴S△ABC=BCAG
=×(x+n)(x+m)
= [x2+(m+n)x+mn]
=×(3mn+mn)
=mn.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點A(﹣1,)及原點,交x軸于另一點C(2,0),點D(0,m)是y軸正半軸上一動點,直線AD交拋物線于另一點B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,連接AO、BO,若△OAB的面積為5,求m的值;
(3)如圖2,作BE⊥x軸于E,連接AC、DE,當D點運動變化時,AC、DE的位置關系是否變化?請證明你的結論.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,將正方形置于平面直角坐標系中,其中邊在軸上,其余各邊均與坐標軸平行.直線沿軸的負方向以每秒1個單位的速度平移,在平移的過程中,該直線被正方形的邊所截得的線段長為,平移的時間為(秒),與的函數(shù)圖象如圖2所示,則圖1中的點的坐標為__________,圖2中的值為__________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,點在線段上運動(不與、重合),連接,作,交線段于.
(1)當時,______________;點從向運動時,逐漸變____________(填“大”或“小”);
(2)當時,求證:,請說明理由;
(3)在點的運動過程中,的形狀也在改變,判斷當等于多少度時,是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有兩個一元二次方程:M:ax2+bx+c=0,N:cx2+bx+a=0,其中a+c=0,以下列四個結論中正確的是_____(填寫序號).
①如果方程M有兩個不相等的實數(shù)根,那么方程N也有兩個不相等的實數(shù)根;
②如果方程M有兩根符號相同,那么方程N的兩根符號也相同;
③如果方程M和方程N有一個相同的根,那么這個根必是x=1;
④如果5是方程M的一個根,那么是方程N的一個根.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點,F是AM的中點,EF⊥AM,垂足為F,交AD的延長線于點E,交DC于點N.
(1)求證:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△CAD與△CEB都是等邊三角形,BD、EA的延長線相交于點F.
(1)求證:△ACE≌△DCB.
(2)求∠F的度數(shù).
(3)若AD⊥BD,請直接寫出線段EF與線段BD、DF之間的數(shù)量關系.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】文明交流互鑒是推動人類文明進步和世界和平發(fā)展的重要動力.2019年5月“亞洲文明對話大會”在北京成功舉辦,引起了世界人民的極大關注.某市一研究機構為了了解10~60歲年齡段市民對本次大會的關注程度,隨機選取了100名年齡在該范圍內(nèi)的市民進行了調(diào)查,并將收集到的數(shù)據(jù)制成了尚不完整的頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖,如下所示:
組別 | 年齡段 | 頻數(shù)(人數(shù)) |
第1組 | 5 | |
第2組 | ||
第3組 | 35 | |
第4組 | 20 | |
第5組 | 15 |
(1)請直接寫出 , ,第3組人數(shù)在扇形統(tǒng)計圖中所對應的圓心角是 度.
(2)請補全上面的頻數(shù)分布直方圖;
(3)假設該市現(xiàn)有10~60歲的市民300萬人,問40~50歲年齡段的關注本次大會的人數(shù)約有多少?
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