Question

如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC的中垂線DE于D，交AC于H，連接AD，DG⊥BC于G，交AC于K，延長BA至F，使AF=GC，連接DF．
（1）當∠1+2∠2=90°時，證明：DH=DK；
（2）當∠1=∠3時，證明：DF⊥AF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)余角的性質(zhì)先求得∠DKE=∠GKC=90°-∠2，然后根據(jù)外角的性質(zhì)求得∠DHE=∠1+∠2，再根據(jù)已知即可求得．
（2）根據(jù)線段的存在平分線的性質(zhì)求得∠3=∠DCA，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和已知條件求得∠FAD=∠DCB，進而求得△AFD≌△CGD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求得∠AFD=∠DGC=90°

解答：證明：（1）∵∠1+2∠2=90°，
∴∠1+∠2=90°-∠2，
∵DG⊥BC，
∴∠DKE=∠GKC=90°-∠2，
∵∠DHE=∠1+∠2
∴∠DHE=∠DKE，
∴DH=DK；

（2）連接DC，
∵DE垂直平分AC，
∴DA=DC，∠3=∠DCA，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠1，
∴∠FAD+∠3=2∠1+∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠FAD=∠2+∠3，
∴∠DCB=∠2+∠DCA=∠2+∠3，
∴∠FAD=∠DCB，
在△AFD與△CGD中，

AF=GC ∠FAD=∠DCB DA=DC

∴△AFD≌△CGD（SAS）
∴∠AFD=∠DGC，
∵∠DGC=90°，
∴∠AFD=90°，
∴DF⊥AF

點評：此題考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形余角的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線，構(gòu)造全等三角形，運用數(shù)形結(jié)合思想解答．