Question

如圖，已知拋物線C₀的解析式為y=x²-（a+b）x+

c2

4

，其中a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對(duì)邊的長(zhǎng)．
（1）求證：拋物線C₀與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）設(shè)P、Q是拋物線C₀與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：P、Q兩點(diǎn)總在x軸的正半軸上；
（3）設(shè)直線l：y=ax-bc與拋物線交于點(diǎn)E、F，與y軸交于點(diǎn)M，N為拋物線與y軸的交點(diǎn)，直線x=a是拋物線的對(duì)稱軸，當(dāng)△MNE的面積是△MNF的面積的5倍時(shí)，確定△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）令y=0，用根的判別式和三角形三邊關(guān)系即可證得．
（2）設(shè)出P、Q坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理表示出兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積的表達(dá)式，即可證得兩點(diǎn)橫坐標(biāo)均為正數(shù)．
（3）先根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸求出a、b的關(guān)系．然后聯(lián)立拋物線與直線l的解析式，求出E、F的橫坐標(biāo)，已知△MNE的面積是△MNF的面積的5倍，根據(jù)等底三角形的面積比等于高的比，由此可得出E的橫坐標(biāo)是F的橫坐標(biāo)的5倍，由此可求出a、c的關(guān)系，由此可求出三角形ABC的形狀．

解答：（1）證明：令y=0，則有x²-（a+b）x+

c2

4

=0（*），△=（a+b）²-c²，
由于a、b、c分別是△ABC的三邊，
因此a+b＞c＞0，
因此（a+b）²＞c²
∴△＞0，
因此拋物線總與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．

（2）證明：設(shè)P、Q的坐標(biāo)為（x₁，0）（x₂，0），
根據(jù)（1）可得：x₁•x₂=

c2

4

＞0，
因此x₁，x₂同號(hào)．
x₁+x₂=a+b＞0，
因此x₁＞0，x₂＞0；
即P、Q總在x軸的正半軸上．

（3）解：由題意知：x=

a+b

2

=a，因此a=b．
設(shè)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，F(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，聯(lián)立c₀和l可得：
x²-2ax+

c2

4

=ax-ac，
即x²-3ax+

c2+4ac

4

=0，
∴m=

3a+ 9a2-c2-4ac

2

，n=

3a- 9a2-c2-4ac

2

由題意可知：m=5n；
即3a+

9a2-c2-4ac

=15a-5

9a2-c2-4ac

即5a²-4ac-c²=0，
解得a=-

c

5

（不合題意舍去），a=c
因此a=b=c，△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、韋達(dá)定理、函數(shù)圖象交點(diǎn)、等邊三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．