Question

如圖，直線l與x、y軸分別交于點(diǎn)M（-4，0），N（0，3），現(xiàn)將直線l向右平移，速度為2個(gè)單位/s，與x、y軸交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)，向右運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)以O(shè)為圓心，t為半徑的圓與直線l相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）由條件可知OM=4，ON=3，則OA=4-2t，再利用△OMN∽△OAB，可求出OB，可求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)直線和圓相切時(shí)，利用點(diǎn)O到直線l的距離等于t，結(jié)合三角形相似得到對(duì)應(yīng)線段成比例，得到關(guān)于t的方程，求解即可．

解答：解：（1）由平移可知AB∥MN，
∴△OMN∽△OAB，
∴

OA

OM

=

OB

ON

，
∵M(jìn)（-4，0），N（0，3），
∴OM=4，ON=3，
∵直線l向右平移，速度為2個(gè)單位/s，
∴MA=2t，
當(dāng)0≤t≤2，即A在線段OM上時(shí)，如圖1，OA=4-2t，此時(shí)

4-2t

4

=

OB

3

，解得OB=3-

3

2

t，

因?yàn)锳點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，B點(diǎn)在y軸正半軸上，
所以點(diǎn)A坐標(biāo)為（2t-4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3-

3

2

t）；
當(dāng)t＞2，即A在x軸正半軸上時(shí)，如圖2，OA=2t-4，此時(shí)

2t-4

4

=

OB

3

，解得OB=

3

2

t-3，

因?yàn)锳點(diǎn)在x正半軸，B點(diǎn)在y負(fù)半軸上，
所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（2t-4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3-

3

2

t）；
綜上可知A點(diǎn)坐標(biāo)為（2t-4，0）或（4+2t，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3-

3

2

t）；
（2）當(dāng)0≤t≤2，即A在線段OM上時(shí)，如圖3，設(shè)AB和⊙O相切于點(diǎn)Q，連接OQ，則OQ=t，且OQ⊥AB，

∵AB∥MN，
∴∠BAO=∠NMO，且∠OQA=∠MON，
∴△AOQ～△MNO，
∴

OQ

ON

=

OA

MN

，
∵OM=4，ON=3，
∴MN=5，此時(shí)OA=4-2t，
∴

t

3

=

4-2t

5

，解得t=

12

11

；
當(dāng)t＞2，即A在x軸正半軸上時(shí)，如圖4，設(shè)AB和⊙O相切于點(diǎn)Q，連接OQ，則OQ=t，且OQ⊥AB，

同理可得△AOQ～△MNO，
∴

OQ

ON

=

OA

MN

，
∵OM=4，ON=3，
∴MN=5，此時(shí)OA=2t-4，
∴

t

3

=

2t-4

5

，解得t=12．
綜上可知當(dāng)t=

12

11

s或12s時(shí)以O(shè)為圓心，t為半徑的圓與直線l相切．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，在解題中分A點(diǎn)在x正半軸和x負(fù)半軸兩種情況是解題的關(guān)鍵．