Question

已知：正方形ABCD，點(diǎn)A、B在x軸上，直線(xiàn)y=mx+n（＜n＜m）過(guò)點(diǎn)A、C交y軸于點(diǎn)E，S_△AOE=2S_{正方形ABCD}，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A、B，且頂點(diǎn)G在直線(xiàn)y=mx+n上，拋物線(xiàn)y與軸交于點(diǎn)F．
（1）求a•b•c的值；
（2）求S_△AGF的范圍．

Answer 1

解：（1）直線(xiàn)AE中，y=mx+n，則E（0，n）；
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，則tan∠CAB=1，
∴OA=OE=n，即A（-n，0）；
△AOE中，AO=n，OE=n，
則S_△AOE=OA•OE=，又S_{正方形ABCD}=AB²，
∵S_△AOE=2S_{正方形ABCD}，
∴n²=2AB²，即AB=n，
故OB=OA-AB=n-n=n，即B（-n，0）；
∴A（-n，0），B（-n，0）．
∵G是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，且A（-n，0），B（-n，0），
∴G點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-n；
易知G是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，故BC=AB=2y_G，
∴G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n；
即G（-n，n）；
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x+n）²+n，將A（-n，0）代入上式，得：
a×n²+n=0，即a=-；
∴y=-（x+n）²+n=-x²-6x-2n；
故abc=（-）×（-6）×（-2n）=-48．

（2）根據(jù)（1）得到的拋物線(xiàn)解析式，易知F（0，-2n）；
∵E（0，n），A（-n，0），G（-n，n），
∴S_△AEF=EF•OA=，S_△EGF=EF•|x_G|=n²，
∴S_△AGF=S_△AEF-S_△EGF=n²-n²=n²，又n＞，
故S_△AGF的范圍為：S_△AGF＞．
分析：（1）根據(jù)直線(xiàn)AE的解析式可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)正方形ABCD的邊長(zhǎng)相等得到AB=BC，即AO=OE，由此可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；易求得△AOE的面積，即可得到正方形ABCD的面積，由于AB=BC，可用AB表示出正方形ABCD的面積，進(jìn)而可得到AB的值（含n的表達(dá)式），由此可確定點(diǎn)B的坐標(biāo)．由于點(diǎn)G是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，即在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，根據(jù)A、B的坐標(biāo)，可求得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，而G點(diǎn)在直線(xiàn)AE上，那么G點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)該是AB的（由于AB=BC=2y_G），由此可確定點(diǎn)G的坐標(biāo)；可將拋物線(xiàn)設(shè)為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，將A或B的坐標(biāo)代入其中，即可求出含n的拋物線(xiàn)解析式，進(jìn)而可求出abc的值；
（2）△AGF的面積無(wú)法直接求出，分析圖形后可知△AGF的面積為△AEF、△EGF的面積差，這兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)都已求出，即可得到△AGF的面積表達(dá)式（含n的式子），根據(jù)已知的n的取值范圍，即可求得△AGF的面積范圍．
點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法等重要知識(shí)，由于本題中大部分?jǐn)?shù)據(jù)都是字母，乍看之下無(wú)從下手，但是只要將字母當(dāng)做已知數(shù)來(lái)對(duì)待，即可按照常規(guī)思路解決問(wèn)題．