【題目】如圖,已知tan∠EOF=2,點(diǎn)C在射線OF上,OC=12.點(diǎn)M是∠EOF內(nèi)一點(diǎn),MC⊥OF于點(diǎn)C,MC=4.在射線CF上取一點(diǎn)A,連結(jié)AM并延長交射線OE于點(diǎn)B,作BD⊥OF于點(diǎn)D.
(1)當(dāng)AC的長度為多少時(shí),△AMC和△BOD相似;
(2)當(dāng)點(diǎn)M恰好是線段AB中點(diǎn)時(shí),試判斷△AOB的形狀,并說明理由;
(3)連結(jié)BC.當(dāng)S△AMC=S△BOC時(shí),求AC的長.
【答案】
(1)解:∵∠MCA=∠BDO=Rt∠,
∴△AMC和△BOD中,C與D是對應(yīng)點(diǎn),
∴△AMC和△BOD相似時(shí)分兩種情況:
①當(dāng)△AMC∽△BOD時(shí), =tan∠EOF=2,
∵M(jìn)C=4,
∴ =2,
解得AC=8;
②當(dāng)△AMC∽△OBD時(shí), =tan∠EOF=2,
∵M(jìn)C=4,
∴ =2,
解得AC=2.
故當(dāng)AC的長度為2或8時(shí),△AMC和△BOD相似
(2)解:△ABO為直角三角形.理由如下:
∵M(jìn)C∥BD,
∴△AMC∽△ABD,
∴ ,∠AMC=∠ABD,
∵M(jìn)為AB中點(diǎn),
∴C為AD中點(diǎn),BD=2MC=8.
∵tan∠EOF=2,
∴OD=4,
∴CD=OC﹣OD=8,
∴AC=CD=8.
在△AMC與△BOD中,
,
∴△AMC≌△BOD(SAS),
∴∠CAM=∠DBO,
∴∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM=90°,
∴△ABO為直角三角形
(3)解:連結(jié)BC,
設(shè)OD=a,則BD=2a.
∵S△AMC=S△BOC,S△AMC= AC MC=2AC,S△BOC= OC BD=12a,
∴2AC=12a,
∴AC=6a.
∵△AMC∽△ABD,
∴ ,即 ,
解得a1=3,a2=﹣ (舍去),
∴AC=6×3=18.
【解析】(1)△AMC和△BOD相似時(shí)分兩種情況:△AMC∽△BOD和△AMC∽△OBD,再由相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出AC的長;
(2)易證△AMC∽△ABD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和三角形的中位線性質(zhì)可求出OD=4,CD=8,AC=CD=8,從而得出△AMC≌△BOD,則∠CAM=∠DBO,再由∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM可求出∠ABO的度數(shù),進(jìn)而得出△ABO的形狀;
(3)設(shè)OD=a,則BD=2a.利用三角形的面積可得AC=6a,再由△AMC∽△ABD,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出a的值,進(jìn)而得出AC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(0,1),矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上,點(diǎn)D、E在x軸上,CF交y軸于點(diǎn)B(0,2),且矩形其面積為8,此拋物線的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O為BC的中點(diǎn)。
(1)寫出點(diǎn)O到△ABC的三個頂點(diǎn)A、B、C的距離的大小關(guān)系并說明理由;
(2)如果點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上移動,在移動中保持AN=BM,請判斷△OMN的形狀,并證明你的結(jié)論。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了豐富學(xué)生課余生活,決定開設(shè)以下體育課外活動項(xiàng)目:A.版畫 B.保齡球C.航! D.園藝種植,為了解學(xué)生最喜歡哪一種活動項(xiàng)目,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請回答下列問題:
(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有 人;
(2)請你將條形統(tǒng)計(jì)圖(2)補(bǔ)充完整;
(3)在平時(shí)的保齡球項(xiàng)目訓(xùn)練中,甲、乙、丙、丁四人表現(xiàn)優(yōu)秀,現(xiàn)決定從這四名同學(xué)中任選兩名參加保齡球比賽,求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率(用樹狀圖或列表法解答)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若點(diǎn)P(x,y)在第三象限,且點(diǎn)P到x軸的距離為3,到y(tǒng)軸的距離為2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是( )
A.(﹣2,﹣3)
B.(﹣2,3)
C.(2,﹣3)
D.(2,3)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),小正方形網(wǎng)格的邊長為1個單位長度,△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,3),B(-4,0),C(0,0)
(1)①畫出將△ABC向上平移1個單位長度,再向右平移5個單位長度后得到的△A1B1C1;②畫出將△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的△A2B2O;
(2)在x軸上存在一點(diǎn)P,滿足點(diǎn)P到點(diǎn)A1與點(diǎn)A2的距離之和最小,請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個角的度數(shù)是40°,那么它的余角的補(bǔ)角度數(shù)是( )
A. 130°B. 140°C. 50°D. 90°
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