Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，且BE=DF，連接BF、DE．
（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）當(dāng)AE的長(zhǎng)為多少時(shí)，四邊形DEBF是菱形？
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中用直尺在邊AC上作出點(diǎn)P，使得PB+PE的值最小，并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),平行四邊形的判定,菱形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的對(duì)邊平行可得AB∥CD，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；
（2）設(shè)AE=x，表示出BE，再根據(jù)菱形的四條邊都相等可得DE=BE，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）過點(diǎn)E作AC的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接BE′，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，BE′與AC的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，PB+PE=BE′，利用勾股定理列式求出AC，再根據(jù)∠BAC的正弦求出EE′，過點(diǎn)E′作E′H⊥AB于H，解直角三角形求出EH、E′H，然后求出BH，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：∵在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴BE∥DF，
又∵BE=DF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形；

（2）設(shè)AE=x時(shí)四邊形DEBF是菱形，則BE=4-x，
∵四邊形DEBF是菱形，
∴DE=BE=4-x，
在Rt△ADE中，AD²+AE²=DE²，
即2²+x²=（4-x）²，
解得x=

3

2

，
故，AE=

3

2

時(shí)，四邊形DEBF是菱形；

（3）如圖，過點(diǎn)E作AC的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接BE′，BE′與AC的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，
此時(shí)，PB+PE=BE′，
由勾股定理得，AC=

22+42

=2

5

，
EE′=2•AE•sin∠BAC=2×

3

2

×

2

2 5

=

3 5

5

，
過點(diǎn)E′作E′H⊥AB于H，
則EH=EE′sin∠AEE′=

3 5

5

×

4

2 5

=

6

5

，
E′H=

3 5

5

×

2

2 5

=

3

5

，
∴BH=BE+EH=4-

3

2

-

3

5

=

19

10

，
在Rt△BE′H中，BE′=

( 6 5 )2+( 19 10 )2

=

505

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱確定最短路線問題，解直角三角形，難點(diǎn)在于（3）確定出點(diǎn)P的位置并作輔助線構(gòu)造出直角三角形．