Question

已知等腰和等腰中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC

（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點E在AB上且點C和點D重合時，若點M、N分別是DB、EC的中點，則MN與EC的位置關(guān)系是             ，MN與EC的數(shù)量關(guān)系是            

（2）探究：若把（1）小題中的△AED繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，連接BD和EC,并連接DB、EC的中點M、N,則MN與EC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系仍然能成立嗎？若成立，請以逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到的圖形（圖3）為例給予證明位置關(guān)系成立，以順時針旋轉(zhuǎn)45°得到的圖形（圖4）為例給予證明數(shù)量關(guān)系成立，若不成立，請說明理由。

        

Answer 1

解：解：（1）.（2）連接EM并延長到F，使EM=MF，連接CM、CF、BF.

∵BM=MD,∠EMD=∠BMF，

∴△EDM≌△FBM

∴BF=DE=AE，∠FBM=∠EDM=135°

∴∠FBC=∠EAC=90°

∴△EAC≌△FBC

∴FC=EC, ∠FCB=∠ECA-

∴∠ECF=∠FCB+∠BCE =∠ECA+∠BCE=90°

又點M、N分別是EF、EC的中點

∴MN∥FC

∴MN⊥FC---------8分

（可把Rt△EAC繞點C旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△CBF,連接MF,ME,MC,然后證明三點共線）

證法2：延長ED到F，連接AF、MF，則AF為矩形ACFE對角線，所以比經(jīng)過EC的中點N且AN=NF=EN=NC.-

在Rt△BDF中，M是BD的中點，

∠B=45°

∴FD=FB

∴FM⊥AB，

∴MN=NA=NF=NC-

∴點A、C、F、M都在以N為圓心的圓上

∴∠MNC=2∠DAC由四邊形MACF中，∠MFC=135°

∠FMA=∠ACB=90°

∴∠DAC=45°

∴∠MNC=90°即MN⊥FC-

（還有其他證法，相應(yīng)給分）

（3）連接EF并延長交BC于F

∵∠AED=∠ACB=90°

∴DE∥BC

∴∠DEM=∠AFM，∠EDM=∠MBF

又BM=MD

∴△EDM≌△FBM-

∴BF=DE=AE,EM=FM

∴

（另證：也可連接DN并延長交BC于M）

備注：任意旋轉(zhuǎn)都成立，如下圖證明兩個紅色三角形全等。其中∠EAC=∠CBF的證明，

可延長ED交BC于G，通過角的轉(zhuǎn)換得到