【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,D為△ABC所在平面內(nèi)的一點,過D作DE∥AB,DF∥AC分別交直線AC,直線AB于點E,F.
(1)如圖1,當(dāng)點D在線段BC上時,通過觀察分析線段DE、DF、AB之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)如圖2,當(dāng)點D在直線BC上,其他條件不變時,試猜想線段DE、DF、AB之間的數(shù)量關(guān)系(請直接寫出等式,不需證明);
(3)如圖3,當(dāng)點D是△ABC內(nèi)一點,過D作DE∥AB,DF∥AC分別交直線AC,直線AB和直線BC于E、F和G. 試猜想線段DE、DF、DG與AB之間的數(shù)量關(guān)系(請直接寫出等式,不需證明).
【答案】(1)DE+DF=AB.理由見解析; (2) ①當(dāng)點D在CB的延長線上時, AB=DE-DF;②當(dāng)點D在線段BC上時,AB=DE+DF;③當(dāng)點D在BC的延長線上時, AB=DF-DE.(3)AB=DE+DG+DF.
【解析】
(1)如圖1,先根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形得出四邊形AEDF是平行四邊形,則DE=AF.再根據(jù)平行線及等腰三角形的性質(zhì)得出∠FDB=∠B,由等角對等邊得到DF=FB,從而證明DE+DF=AF+FB=AB;
(2)當(dāng)點D在直線BC上時,分三種情況:
①當(dāng)點D在BC的反向延長線上時,如圖4,先證明四邊形AEDF是平行四邊形,則DE=AF,再證明∠FDB=∠FBD,由等角對等邊得到DF=FB,從而證明AB=AF-BF=DE-DF;
②當(dāng)點D在線段BC上時,如圖1,AB=DE+DF;
③當(dāng)點D在BC的延長線上時,如圖5,先證明四邊形AEDF是平行四邊形,則DF=AE,再證明∠CDE=∠DCE,由等角對等邊得到CE=DE,再證明從而證明AB=AC=AE-CE=DF-DE;
(3)如圖3,先證明四邊形AEDF是平行四邊形,則DF=AE,再證明∠EGC=∠C,由等角對等邊得到DE+DG=CE,從而證明AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF.
(1)DE+DF=AB. 理由如下:
如圖1,∵DE∥AB,DF∥AC,
∴四邊形AEDF是平行四邊形,
∴DE=AF.
∵DF∥AC,
∴∠FDB=∠C,
∵AB=AC,
∴∠C=∠B,
∴∠FDB=∠B,
∴DF=FB,
∴DE+DF=AF+FB=AB;
(2)
①當(dāng)點D在BC的反向延長線上時,如圖4,AB=DE-DF;
∵DE∥AB,DF∥AC,
∴四邊形AEDF是平行四邊形,
∴DE=AF.
∴∠FDB=∠BCA,
∵AB=AC,
∴∠BCA =∠B,
∴∠FDB=∠B=∠DBF,
∴DF=FB,
∴AB=AF-BF=DE-DF;;
②當(dāng)點D在線段BC上時,同題(1),AB=DE+DF;
③當(dāng)點D在BC的延長線上時,如圖5,AB=DF-DE;
∵DE∥AB,DF∥AC,
∴四邊形AEDF是平行四邊形,
∴DF=AE.
∴∠CDE=∠B,
∵AB=AC,
∴∠BCA =∠B=∠DCE ,
∴∠CDE=∠DCE,
∴CE=DE,
∴AB=AC=AE-CE=DF-DE;;
(3)AB=DE+DG+DF.
∵DE∥AB,DF∥AC,
∴四邊形AEDF是平行四邊形,
∴DF=AE,
∵DE∥AB,
∴∠EGC=∠B,
∵AB=AC,
∴∠C=∠B,
∴∠C=∠EGC,
∴EG=EC,即DE+DG=CE,
∴AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF.
故答案為:(1)DE+DF=AB. 理由見解析;(2)①當(dāng)點D在BC的反向延長線上時,如圖4見解析,AB=DE-DF;②當(dāng)點D在線段BC上時,同題(1),AB=DE+DF;③當(dāng)點D在BC的延長線上時,如圖5見解析,AB=DF-DE;(3)AB=DE+DG+DF.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中點,點E、F分別在AC、BC邊上運動(點E不與點A、C重合),且保持AE=CF,連接DE,DF,EF.在此運動變化的過程中,有下列結(jié)論:
①△DFE是等腰直角三角形;
②四邊形CEDF不可能為正方形;
③四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化;
④點C到線段EF的最大距離為 .
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知A為⊙O外一點,連結(jié)OA交⊙O于P,AB為⊙O的切線,B為切點,AP=5㎝,AB= ㎝,則劣弧 與AB,AP所圍成的陰影的面積是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,CB∥OA,∠B=∠A=100°,E、F在CB上,且滿足∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF.
(1)求∠EOC的度數(shù);
(2)若平行移動AC,那么∠OCB:∠OFB的值是否隨之發(fā)生變化?若變化,試說明理由;若不變,求出這個比值;
(3)在平行移動AC的過程中,是否存在某種情況,使∠OEB=∠OCA?若存在,求出∠OCA度數(shù);若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長方形ABCD中,點A(﹣4,1)、B(0,1)、C(0,3),
(1)過O的直線l和經(jīng)過AC的直線平行,求直線l表達式;
(2)已知在平面直角坐標(biāo)系中,過一點分別作坐標(biāo)軸的垂線,若與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長與面積相等,則這個點叫做和諧點.在直線l上是否存在點P為和諧點?若存在,求出點P坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若兩個扇形滿足弧長的比等于它們半徑的比,則這稱這兩個扇形相似。如圖,如果扇形AOB與扇形 是相似扇形,且半徑 ( 為不等于0的常數(shù))那么下面四個結(jié)論:①∠AOB=∠ A1O1B1 ;②△AOB∽△ A1O1B1 ;③ A1B1 =k;④扇形AOB與扇形 A1O1B1 的面積之比為 。成立的個數(shù)為:( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探究:
如圖①,在△ABC中,點D、E、F分別在邊AB、AC、CB上,且DE∥BC,EF∥AB,若∠ABC=65°,求∠DEF的度數(shù).請將下面的解答過程補充完整,并填空(理由或數(shù)學(xué)式):
解:∵DE∥BC( )
∴∠DEF= ( )
∵EF∥AB
∴ =∠ABC( )
∴∠DEF=∠ABC( )
∵∠ABC=65°
∴∠DEF=
應(yīng)用:
如圖②,在△ABC中,點D、E、F分別在邊AB、AC、BC的延長線上,且DE∥BC,EF∥AB,若∠ABC=β,則∠DEF的大小為 (用含β的代數(shù)式表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某巡警車在一條南北大道上巡邏,某天巡警車從崗?fù)?/span>處出發(fā),規(guī)定向北方向為正,當(dāng)天行駛紀(jì)錄如下(單位:千米)
﹣10,﹣9,+7,﹣15,+6,﹣5,+4,﹣2
(1)最終巡警車是否回到崗?fù)?/span>處?若沒有,在崗?fù)ず畏,距崗(fù)ざ噙h(yuǎn)?
(2)摩托車行駛1千米耗油0.2升,油箱有油10升,夠不夠?若不夠,途中還需補充多少升油?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在數(shù)軸上 A點表示的數(shù)是 a ,B 點表示的數(shù)是b ,且 ab滿足|a 8|b-220.動線段 CD=4(點 D 在點 C 的右側(cè)),從點 C與點 A重合的位置出發(fā),以每秒 2 個單位的速度向右運動,運動時間為 t秒.
(1)求a,b的值, 運動過程中,點 D 表示的數(shù)是多少,(用含有 t 的代數(shù)式表示)
(2)在 B、C、D 三個點中,其中一個點是另外兩個點為端點的線段的中點,求 t 的值;
(3)當(dāng)線段 CD 在線段 AB上(不含端點重合)時,如圖,圖中所有線段的和記作為 S, 則 S的值是否隨時間 t 的變化而變化?若變化,請說明理由;若不變,請求出 S值.
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