Question

四邊形ABCD為矩形，G是BC上的任意一點，DE⊥AG于點E．

（1）如圖1，若AB=BC，BF∥DE，且交AG于點F，求證：AF﹣BF=EF；

（2）如圖2，在（1）條件下，AG=BG，求；

（3）如圖3，連EC，若CG=CD，DE=2，GE=1，則CE=　_________　（直接寫出結果）

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，AB=BC，

∴四邊形ABCD為正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

又DE⊥AG，BF∥DE，

∴∠AED=∠AFB=90°，

∵∠BAF+∠DAE=90°，∠BAE+∠ABF=90°，

∴∠DAE=∠ABF，

在△AED和△BFA中，

∴△AED≌△BFA（AAS），

∴AE=BF，

∴AF﹣BF=EF，

（2）如圖2，延長AG與DC交于點F，

∵AG=BG，設BG=t，則AG=t，

在Rt△ABG中，AB==2t，

∴G為BC的中點，

在△ABG和△FCG中，

∴△ABG≌△FCG（AAS），

∴AB=FC=CD，

又∵DE⊥AG，

在Rt△DEF中，C為斜邊DF的中點，

∴EC=CD=CF，

∴==

（3）如圖3，連接DG，作EM⊥BC于M點，

∵DE⊥AG，DE=2，GE=1，

∴在RT△DEG中，DG===，

∵CG=CD，

∴在RT△DCG中，∠CDG=∠CGD=45°，

∴CD=CG==，

∵∠BAG+∠GAD=90°，∠EDA+∠GAD=90°，

∴∠BAG=∠EDA，

∵∠ABG=∠DEA=90°，

∴△ABG∽△DEA，

∴=，

設AD=x，則AE==，AG=+1，

∴=，

解得x₁=，x₂=﹣2（舍去）

∴AE==，

又∵∠BAG=∠MEG，

∴∠EDA=∠MEG，

∴△EMG∽△DEA

∴==，即==

解得EM=，MG=，

∴CM=CG+MG=+=，

∴CE===．

故答案為：．