Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中點(diǎn)，BC=8，MB=5
（1）判斷△MBC的形狀，并說明理由
（2）若點(diǎn)P，Q分別是線段BC，BM上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B，C均不重合），且∠MPQ=∠MCB，設(shè)BP=x，QM=y，求y與x的關(guān)系式及x的取值范圍，判斷y是否存在最大（或最小）值？若存在，求出其值，并判斷此時(shí)△MQP的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是等腰梯形，得到AB=DC，∠A=∠D，然后根據(jù)M是AD中點(diǎn)，得到AM=MD，從而證得△ABM≌△DCM，得到MB=MC，證得△BMC是等腰三角形；
（2）證得△BPQ∽△CMP，利用相似三角形的性質(zhì)得到

QB

PC

=

BP

MC

，從而得到（5-y）：（8-x）=x：5，整理配方得到y(tǒng)=（x-4）²+

9

5

，從而確定最值．

解答：解：（1）△BMC是等腰三角形；
證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D，
又∵M(jìn)是AD中點(diǎn)，
∴AM=MD，
在△ABM和△DCM中，

AB=DC ∠A=∠D AM=MD

，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴MB=MC，
∴△BMC是等腰三角形；

（2）由（1）知，∠MBC=∠MCB，
∵∠MPQ=∠MCB，
∴∠MBC=∠MPQ，
∵∠MBC+∠BQP=∠MPQ+∠MPC（∠MPQ+∠MPC=∠CPQ是三角形外角），
∴∠BQP=∠MPC，
∴△BPQ∽△CMP，
∴

QB

PC

=

BP

MC

，
得（5-y）：（8-x）=x：5，
整理得：y=

1

5

x²-

8

5

x+5（0＜x＜8），
配方：y=（x-4）²+

9

5

，
∴當(dāng)x=4時(shí)，y最小=

9

5

．
此時(shí)BP=PC=4，
∴MP⊥BC，即∠MPC=90°，
∴∠BQP=90°，
∴∠MQP=90°，
即△MQP為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解等腰三角形的腰、底角等性質(zhì)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，難度不大．