Question

【題目】已知拋物線F：y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與x軸另一交點(diǎn)為（﹣，0）．

（1）求拋物線F的解析式；

（2）如圖1，直線l：y=x+m（m＞0）與拋物線F相交于點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2）（點(diǎn)A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；

（3）在（2）中，若m=，設(shè)點(diǎn)A′是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，如圖2．

①判斷△AA′B的形狀，并說(shuō)明理由；

②平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、A′、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x；（2）y2﹣y1=；（3）①△AA′B為等邊三角形，理由見(jiàn)解析；②平面內(nèi)存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、A′、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）、（﹣ ）和（﹣，﹣2）

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線F的解析式；

（2）將直線l的解析式代入拋物線F的解析式中，可求出x1、x2的值，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出y1、y2的值，做差后即可得出y2-y1的值；

（3）根據(jù)m的值可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用對(duì)稱性求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)．

①利用兩點(diǎn)間的距離公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B為等邊三角形；

②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合菱形的性質(zhì)，可得出存在符合題意得點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），分三種情況考慮：（i）當(dāng)A′B為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)（對(duì)角線互相平分）可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（ii）當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)（對(duì)角線互相平分）可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（iii）當(dāng)AA′為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)（對(duì)角線互相平分）可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．綜上即可得出結(jié)論．

（1）∵拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0）和（﹣，0），

∴，解得：，

∴拋物線F的解析式為y=x2+x．

（2）將y=x+m代入y=x2+x，得：x2=m，

解得：x1=﹣，x2=，

∴y1=﹣+m，y2=+m，

∴y2﹣y1=（+m）﹣（﹣+m）=（m＞0）．

（3）∵m=，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，2）．

∵點(diǎn)A′是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，

∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（，﹣）．

①△AA′B為等邊三角形，理由如下：

∵A（﹣，），B（，2），A′（，﹣），

∴AA′=，AB=，A′B=，

∴AA′=AB=A′B，

∴△AA′B為等邊三角形．

②∵△AA′B為等邊三角形，

∴存在符合題意的點(diǎn)P，且以點(diǎn)A、B、A′、P為頂點(diǎn)的菱形分三種情況，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）．

（i）當(dāng)A′B為對(duì)角線時(shí)，有，

解得，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）；

（ii）當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，有，

解得：，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）；

（iii）當(dāng)AA′為對(duì)角線時(shí)，有，

解得：，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，﹣2）．

綜上所述：平面內(nèi)存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、A′、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）、（﹣ ）和（﹣，﹣2）．