Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其 中點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿B→C方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t=2秒時(shí)，求PQ的長(zhǎng)；

（2）求出發(fā)時(shí)間為幾秒時(shí)，△PQB是等腰三角形？

（3）若Q沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．（直接寫(xiě)答案）

Answer 1

【答案】（1）2;（2）秒;（3）5.5秒或6秒或6.6秒.

【解析】試題分析：（1）可求得AP和BQ，則可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的長(zhǎng)；

（2）用t可分別表示出BP和BQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP=BQ，可得到關(guān)于t的方程，可求得t；

（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．

試題解析：（1）（1）BQ=2×2=4cm，

BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm，

∵∠B=90°，

在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ=

（2）根據(jù)題意得：BQ=BP，

即2t=8﹣t，解得：t=；

即出發(fā)時(shí)間為秒時(shí)，△PQB是等腰三角形；

（3）分三種情況：

①當(dāng)CQ=BQ時(shí)，如圖1所示：則∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5秒．

②當(dāng)CQ=BC時(shí)，如圖2所示：

則BC+CQ=12∴t=12÷2=6秒．

③當(dāng)BC=BQ時(shí)，如圖3所示：

過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，則BE=4.8（cm）

∴CE==3.6cm，

∴CQ=2CE=7.2cm，

∴BC+CQ=13.2cm，

∴t=13.2÷2=6.6秒．

由上可知，當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)， △BCQ為等腰三角形．