Question

【題目】（1）如圖 1，在四邊形 ABCD 中，AB∥DC，E 是 BC 中點(diǎn)，若 AE 是∠BAD 的平分線(xiàn)，試探究 AB，AD，DC 之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，無(wú)需證明．

（2）如圖 2，在四邊形ABCD 中，AB∥DC，AF 與DC 的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，E 是BC 中點(diǎn)，若AE 是∠BAF 的平分線(xiàn)，試探究AB，AF，CF 之間的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，證明詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，證明△AEB≌△FEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB＝FC，根據(jù)等腰三角形的判定得到DF＝AD，證明結(jié)論；

（2）延長(zhǎng)AE交DF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，利用同（1）相同的方法證明．

（1）延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．

∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝BE．

∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠F．

在△AEB和△FEC中，∵，∴△AEB≌△FEC，∴AB＝FC．

∵AE是∠BAD的平分線(xiàn)，∴∠BAE＝∠EAD．

∵∠BAE＝∠F，∴∠EAD＝∠F，∴AD＝DF，∴AD＝DF＝DC+CF＝DC+AB；

（2）如圖②，延長(zhǎng)AE交DF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G．

∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝BE．

∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G．

在△AEB和△GEC中，∵，∴△AEB≌△GEC，∴AB＝GC．

∵AE是∠BAF的平分線(xiàn)，∴∠BAG＝∠FAG．

∵∠BAE＝∠G，∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，∴AB＝CG＝AF+CF．