Question

【題目】已知，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上，連接DE，∠A＋∠E＝180°．

（1）如圖1，求證：CD=DE；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作BE的垂線，交AD于點(diǎn)F，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE、AF、DF 之間的數(shù)量關(guān)系_______________________；

（3）如圖3，在（2）的條件下，∠ABC的平分線，交CD于G，交CF于H，連接FG，若∠FGH=45°，DF=8，CH=9，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）BE=AF+3DF；（3）31

【解析】

（1）利用等角的補(bǔ)角判斷出∠DCE=∠E即可；

（2）先判斷出四邊形CFDN是矩形，再判斷出CN=NE=FD，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出∠ABG=∠BGC，進(jìn)而得出四邊形BCFM是正方形，即可判斷出△BMK≌△BCH，再用勾股定理求出BM=15，即可得出AD=BC=BM=15，即可求出結(jié)論．

（1）∵

四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A=∠BCD，

∵∠A+∠E=180°，∠BCD+∠DCE=180°，

∴∠DCE=∠E，

∴CD=DE；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥BE于N，

∵CF⊥BE，

∴∠DNC=∠BCF=90°，

∴FC∥DN，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴四邊形CFDN是矩形，

∴FD=CN，

∵CD=DE，DN⊥CE，

∴CN=NE=FD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC=AD=AF+FD，

∴BE=AF+3DF．

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AD于點(diǎn)M，延長(zhǎng)FM至K，使KM=HC．連接BK，

∵ABCD，

∴AB∥CD，

∴∠ABG=∠BGC，

∵BG平分∠ABC，

∴設(shè)∠ABG=∠CBG=∠BGC=α，

∴BC=CG，

∵∠FGH=45°，

∴∠FGC=45°+α，

∵∠BCF=90°，

∴∠BHC=∠FHG=90°-α，

∴∠HFG=45°+α=∠FGC，

∴FC=CG=BC，

∵BM⊥AD，

∴∠MBC=90°=∠FCE=∠MFC，

∴四邊形BCFM是矩形，

∵BC=FC，

∴四邊形BCFM是正方形，

∴BM=MF=BC=AD，

∴MA=DF=8，

∵∠KMB=∠BCH=90°，KM=CH，

∴△BMK≌△BCH，

∴KM=CH=9，∠KBM=∠CBH=α，∠K=∠BHC=90°-α，

∵∠MBC=90°，

∴∠MBA=90°-2α，

∴∠KBA=90°-α=∠K，

∴AB=AK=8+9=17，

在Rt△ABM中，∠BMA=90°，BM==15，

∴AD=BC=BM=15，

∴AF=AD-DF=15-8=7，

∴BE=AF+3DF=7+3×8=31．